Determine o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(3 x+4)(x+1)}{(2 x+7)(x+2)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x+4)(x+1)}{(2x+7)(x+2)}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de produtos de polinômios lineares em x.
  • O ponto para o qual x tende é x\rightarrow \infty.
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Primeira ideia (mini-aula curta e prática): quando temos o limite, para x\to\infty, de uma razão de polinômios, o comportamento depende dos graus (potências máximas de x) no numerador e no denominador.
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes das maiores potências.
  • Se o grau do numerador for maior, o limite tende a \pm\infty dependendo dos sinais dos termos dominantes.
    Aqui temos produtos de dois termos lineares, então o numerador e o denominador são polinômios de grau 2. Portanto esperamos um número finito igual à razão dos coeficientes dos termos x^2. Vou mostrar isso com contas para ficar bem claro.

Passo 3

Método direto e seguro (dividir por a maior potência de x presente): o grau total é 2, então dividimos numerador e denominador por x^{2}. Primeiro, reescrevo cada fator dividindo por x:
\frac{(3x+4)(x+1)}{(2x+7)(x+2)} = \frac{\bigl(x(3+\tfrac{4}{x})\bigr)\bigl(x(1+\tfrac{1}{x})\bigr)}{\bigl(x(2+\tfrac{7}{x})\bigr)\bigl(x(1+\tfrac{2}{x})\bigr)}.
Agrupando os x fatorados:
= \frac{x^{2}\,(3+\tfrac{4}{x})(1+\tfrac{1}{x})}{x^{2}\,(2+\tfrac{7}{x})(1+\tfrac{2}{x})}.

Passo 4

Cancelei x^{2} no numerador e denominador (válido para x\neq 0, e aqui estamos indo para x\to\infty, então tudo bem):
\frac{(3+\tfrac{4}{x})(1+\tfrac{1}{x})}{(2+\tfrac{7}{x})(1+\tfrac{2}{x})}.
Agora uso que, quando x\to\infty, temos \tfrac{1}{x}\to 0. Portanto cada fator que tem \tfrac{1}{x} tende ao seu valor sem o termo \tfrac{1}{x}.

Passo 5

Tomando o limite termo a termo (produto e razão de limites quando existem e denominador não é zero):
\lim_{x\to\infty}(3+\tfrac{4}{x}) = 3,\qquad \lim_{x\to\infty}(1+\tfrac{1}{x}) = 1,
\lim_{x\to\infty}(2+\tfrac{7}{x}) = 2,\qquad \lim_{x\to\infty}(1+\tfrac{2}{x}) = 1.
Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{(3+\tfrac{4}{x})(1+\tfrac{1}{x})}{(2+\tfrac{7}{x})(1+\tfrac{2}{x})} = \frac{3\cdot 1}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, só para confiança): multiplicando os fatores dá
\text{numerador}=3x^{2}+7x+4,\qquad \text{denominador}=2x^{2}+11x+14.
Dividindo por x^{2} e tomando x\to\infty obtemos
\frac{3+7/x+4/x^{2}}{2+11/x+14/x^{2}}\to\frac{3}{2},
mesma resposta. Dica de prova: para a prova escolha o método que você ache mais rápido — normalmente dividir pelo maior grau ou comparar coeficientes líderes é o mais direto.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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