Determine o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de produtos de polinômios lineares em
. - O ponto para o qual
tende é . - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Primeira ideia (mini-aula curta e prática): quando temos o limite, para
, de uma razão de polinômios, o comportamento depende dos graus (potências máximas de
) no numerador e no denominador.
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é
. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes das maiores potências.
- Se o grau do numerador for maior, o limite tende a
dependendo dos sinais dos termos dominantes.
Aqui temos produtos de dois termos lineares, então o numerador e o denominador são polinômios de grau. Portanto esperamos um número finito igual à razão dos coeficientes dos termos . Vou mostrar isso com contas para ficar bem claro.
Passo 3
Método direto e seguro (dividir por a maior potência de
presente): o grau total é
, então dividimos numerador e denominador por
. Primeiro, reescrevo cada fator dividindo por
:
Agrupando os
fatorados:
Passo 4
Cancelei
no numerador e denominador (válido para
, e aqui estamos indo para
, então tudo bem):
Agora uso que, quando
, temos
. Portanto cada fator que tem
tende ao seu valor sem o termo
.
Passo 5
Tomando o limite termo a termo (produto e razão de limites quando existem e denominador não é zero):
Assim
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, só para confiança): multiplicando os fatores dá
Dividindo por
e tomando
obtemos
mesma resposta. Dica de prova: para a prova escolha o método que você ache mais rápido — normalmente dividir pelo maior grau ou comparar coeficientes líderes é o mais direto.