\text{numerador} = 16x^{2}-16xy+4y^{2}\quad\text{(é um polinômio quadrático em \(x,y\))},
\text{denominador} = 2y-4x\quad\text{(é linear em \(x,y\))}.
Observação que já aparece: quando 2y-4x=0 (isto é, na reta y=2x) tanto numerador quanto denominador podem ser zero, levando a uma indeterminação do tipo 0/0. A partir daqui começamos a trabalhar a resolução.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador cuidadosamente para ver se algo se simplifica. Reescrevo o numerador agrupando constantes:
Como 2x-y\neq0 nessa expressão podemos cancelar um fator (2x-y) do numerador com o do denominador, ficando
\frac{4(2x-y)^{2}}{-2(2x-y)}=-2(2x-y).
Expandindo,
-2(2x-y)=-4x+2y.
Portanto, para todo (x,y) com 2x-y\neq0 temos que o valor da função é -4x+2y.
Passo 5
Agora precisamos usar isso para o limite. A função original coincide com a função linear (x,y)\mapsto -4x+2y em toda vizinhança do (0,0) salvo possivelmente na reta y=2x (onde a função original está indefinida). Mas o limite quando (x,y)\to(0,0) depende apenas dos valores em pontos suficientemente próximos ao zero, não importa se a função está definida exatamente na reta. Assim basta calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(-4x+2y\bigr).
Como -4x+2y é uma função linear (logo contínua), seu limite é igual ao seu valor em (0,0). Explicitamente, podemos também usar uma estimativa para ser rigoroso:
Dado \varepsilon>0, tomando \delta=\varepsilon/6 garante que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica |-4x+2y|<\varepsilon. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(-4x+2y\bigr)=0.
Portanto a expressão simplificada tende a 0. Como a função original coincide com essa expressão em todos os pontos próximos ao origem exceto na reta onde está indefinida, concluímos que o limite da função original também é 0.