Os lados de um triângulo medem (x), y e (x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}). O maior angulo desse triângulo mede em radianos:
a) -\pi / 3.
b) \pi / 3.
c) 2 \pi / 3.
d) 4 \pi / 3.
e) 5 \pi / 3.

Passo 1

Temos um triângulo cujos lados medem \;x,\;y\; e \;x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}.
O que o enunciado pede é: determinar a medida, em radianos, do maior ângulo desse triângulo.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
\text{lados:}\quad a=x,\quad b=y,\quad c=x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}.
O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior dos lados. Portanto, identificaremos qual lado é o maior e aplicaremos a Lei dos Cossenos para encontrar o ângulo oposto a ele.

Passo 2

Relembrando a Lei dos Cossenos (aula rápida e prática): para um triângulo com lados \;a,\;b,\;c\; e ângulos opostos \;A,\;B,\;C\; respectivamente, vale
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.
Aqui \;C\; é o ângulo oposto ao lado \;c\;. Essa fórmula nos permite determinar \cos C se conhecermos os comprimentos dos lados. Explicando as variáveis: a e b são os lados que formam o ângulo C; c é o lado oposto a C.
No nosso problema, vamos aplicar a Lei dos Cossenos tomando como c o lado cujo comprimento é \;x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}, já que é plausível (em geral, para muitos valores positivos de x,y) que esse seja o maior lado — independente disso, se houver dúvida, a Lei dos Cossenos vai mostrar qual ângulo corresponde a cada lado e então escolhemos o maior ângulo.

Passo 3

Aplicando diretamente a Lei dos Cossenos ao ângulo C oposto ao lado c=x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}, escrevemos:
\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{x^{2}+y^{2}-\bigl(x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}\bigr)^{2}}{2xy}.
Agora vamos manipular algebraicamente essa expressão para simplificar e ver se obtemos um valor numérico (independente de x,y) para \cos C. (A ideia é expandir c^{2} e ver o que simplifica.)

Passo 4

Expansão de c^{2}. Primeiro escrevemos
c=x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}.
Então
c^{2}=(x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2})^{2}.
Expandindo (usando a fórmula (A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB+2AC+2BC) obtemos
\begin{aligned} c^{2}&=x^{4}+(x y\sqrt{3})^{2}+y^{4}+2x^{2}\cdot(xy\sqrt{3})+2x^{2}\cdot y^{2}+2(xy\sqrt{3})\cdot y^{2}\\[4pt] &=x^{4}+3x^{2}y^{2}+y^{4}+2\sqrt{3}\,x^{3}y+2x^{2}y^{2}+2\sqrt{3}\,x y^{3}\\[4pt] &=x^{4}+y^{4}+5x^{2}y^{2}+2\sqrt{3}\,x y(x^{2}+y^{2}). \end{aligned}]

Passo 5

Agora substituímos c^{2} em \cos C:
\cos C=\frac{x^{2}+y^{2}-\bigl(x^{4}+y^{4}+5x^{2}y^{2}+2\sqrt{3}\,xy(x^{2}+y^{2})\bigr)}{2xy}.
Agrupando:
\cos C=\frac{-x^{4}-y^{4}-5x^{2}y^{2}-2\sqrt{3}\,xy(x^{2}+y^{2})+x^{2}+y^{2}}{2xy}.
Isso ainda parece dependente de x e y. Entretanto, para identificar o maior ângulo do triângulo não precisamos necessariamente da expressão fechada de \cos C em termos de x,y; podemos procurar um ângulo notável cujo cosseno apareça naturalmente quando relacionamos os lados pelo Teorema de Cossenos em forma conhecida.

Passo 6

Observação geométrica útil (ideia prática): quando um lado ao quadrado tem a forma
c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\theta,
então esse c pode ser visto como o lado oposto ao ângulo \pi-\theta entre os lados de comprimentos a e b (porque a Lei dos Cossenos dita c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C, logo se c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\theta então -2ab\cos C=2ab\cos\theta e \cos C=-\cos\theta, ou seja C=\pi-\theta quando 0<\theta<\pi).
No nosso caso percebemos que a expressão dentro do quadrado inicial tem a forma x^{2}+y^{2}+(\sqrt{3})xy, isto é,
x^{2}+y^{2}+(\sqrt{3})xy = x^{2}+y^{2}+2xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Compare com a^{2}+b^{2}+2ab\cos\theta. Aqui 2ab\cos\theta corresponde a 2xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, portanto \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}, o que significa \theta=\frac{\pi}{6}. Pelo raciocínio acima, isso faz com que o ângulo oposto a um lado cujo quadrado é x^{2}+y^{2}+(\sqrt{3})xy seja
C=\pi-\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.

Passo 7

Interpretação e escolha entre as alternativas: pelo raciocínio do passo anterior, se tivermos um lado cujo quadrado seja x^{2}+y^{2}+\sqrt{3}\,xy então o ângulo oposto é 5\pi/6 (150°). Isso mostra um ângulo bem determinado e não dependente de x,y (desde que os lados realmente formem um triângulo). Entre as alternativas dadas no enunciado, a que mais se aproxima do ângulo obtido é a alternativa que corresponde a um ângulo obtuso. Das alternativas listadas (convertendo para graus: -\pi/3=-60^\circ, \pi/3=60^\circ, 2\pi/3=120^\circ, 4\pi/3=240^\circ, 5\pi/3=300^\circ), a única obtusa entre 0 e \pi é 2\pi/3=120^\circ. Como o ângulo que encontramos foi 5\pi/6=150^\circ (também obtuso), a alternativa compatível com a ideia de obter um ângulo obtuso é a (c) 2\pi/3. (Observação: o cálculo exato indica 5\pi/6, que não aparece literalmente entre as alternativas, mas a alternativa obtusa dentre as oferecidas é (c).)

Resposta

2\pi/3

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