Os lados de um triângulo medem (x), y e (x^{2}+x y \sqrt{3}+y^{2}). O maior angulo desse triângulo mede em radianos:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Temos um triângulo cujos lados medem
e
O que o enunciado pede é: determinar a medida, em radianos, do maior ângulo desse triângulo.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
O que o enunciado pede é: determinar a medida, em radianos, do maior ângulo desse triângulo.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior dos lados. Portanto, identificaremos qual lado é o maior e aplicaremos a Lei dos Cossenos para encontrar o ângulo oposto a ele.
Passo 2
Relembrando a Lei dos Cossenos (aula rápida e prática): para um triângulo com lados
e ângulos opostos
respectivamente, vale
Aqui
é o ângulo oposto ao lado
. Essa fórmula nos permite determinar
se conhecermos os comprimentos dos lados. Explicando as variáveis:
e
são os lados que formam o ângulo
;
é o lado oposto a
.
No nosso problema, vamos aplicar a Lei dos Cossenos tomando como
o lado cujo comprimento é
, já que é plausível (em geral, para muitos valores positivos de
) que esse seja o maior lado — independente disso, se houver dúvida, a Lei dos Cossenos vai mostrar qual ângulo corresponde a cada lado e então escolhemos o maior ângulo.
Passo 3
Aplicando diretamente a Lei dos Cossenos ao ângulo
oposto ao lado
, escrevemos:
Agora vamos manipular algebraicamente essa expressão para simplificar e ver se obtemos um valor numérico (independente de
) para
. (A ideia é expandir
e ver o que simplifica.)
Passo 4
Expansão de
. Primeiro escrevemos
Então
Expandindo (usando a fórmula
) obtemos
Passo 5
Agora substituímos
em
:
Agrupando:
Isso ainda parece dependente de
e
. Entretanto, para identificar o maior ângulo do triângulo não precisamos necessariamente da expressão fechada de
em termos de
; podemos procurar um ângulo notável cujo cosseno apareça naturalmente quando relacionamos os lados pelo Teorema de Cossenos em forma conhecida.
Passo 6
Observação geométrica útil (ideia prática): quando um lado ao quadrado tem a forma
então esse
pode ser visto como o lado oposto ao ângulo
entre os lados de comprimentos
e
(porque a Lei dos Cossenos dita
, logo se
então
e
, ou seja
quando
).
No nosso caso percebemos que a expressão dentro do quadrado inicial tem a forma , isto é,
No nosso caso percebemos que a expressão dentro do quadrado inicial tem a forma
Compare com
. Aqui
corresponde a
, portanto
, o que significa
. Pelo raciocínio acima, isso faz com que o ângulo oposto a um lado cujo quadrado é
seja
Passo 7
Interpretação e escolha entre as alternativas: pelo raciocínio do passo anterior, se tivermos um lado cujo quadrado seja
então o ângulo oposto é
(150°). Isso mostra um ângulo bem determinado e não dependente de
(desde que os lados realmente formem um triângulo). Entre as alternativas dadas no enunciado, a que mais se aproxima do ângulo obtido é a alternativa que corresponde a um ângulo obtuso. Das alternativas listadas (convertendo para graus:
,
,
,
,
), a única obtusa entre
e
é
. Como o ângulo que encontramos foi
(também obtuso), a alternativa compatível com a ideia de obter um ângulo obtuso é a (c)
. (Observação: o cálculo exato indica
, que não aparece literalmente entre as alternativas, mas a alternativa obtusa dentre as oferecidas é (c).)