Use o método da falsa posição para determinar uma aproximação para a solução da equação x \ln x=1 em [1,2], preenchendo a seguinte tabela (Use 5 casas decimais sem arredondamento).
k a_{k} b_{k} x_{k} f\left(a_{k}\right) f\left(x_{k}\right) Sinal f\left(x_{k}\right) \cdot f\left(a_{k}\right)
0 1 2 1.72134 -1 -0.06513 +
1 1.72134 2 1.76153 -0.06513 -0.00265 +
2 1.76153 2 1.76315 -0.00265 -0.00011 +
3 1.76315 2 1.76319 -0.00011 -0.00005 +

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado\n
  • Pede-se aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a solução da equação x\ln x = 1 no intervalo [1,2] e preencher a tabela com 5 casas decimais sem arredondamento (ou seja, truncando).\n
  • Dados iniciais (do enunciado / tabela): a_0=1, b_0=2. A tabela já apresenta valores a preencher nas iterações k=0,1,2,3; vamos calcular e justificar cada entrada.\n
  • Função envolvida: f(x)=x\ln x - 1.\n
  • Objetivo em cada iteração: calcular x_k pela fórmula da falsa posição, avaliar f(a_k) e f(x_k), e indicar o sinal do produto f(x_k)\cdot f(a_k) (para decidir o novo intervalo).

Passo 2

Breve explicação didática do método da falsa posição (como usar na prova)\n
  • Ideia: aproximamos a raiz de f entre a e b por interpolação linear entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A reta que passa por esses pontos corta o eixo x em um ponto x que é a nossa aproximação.\n
  • Fórmula da falsa posição (regula falsi):
x=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Expliquei: aqui a e b são as extremidades do intervalo atual, f(a) e f(b) são os valores da função nesses pontos, e a fórmula deriva da equação da reta entre (a,f(a)) e (b,f(b)) resolvida para y=0.\n
  • Critério para atualizar o intervalo: calcular f(x). Se f(a)\cdot f(x)<0 a raiz está em [a,x] e definimos b\leftarrow x. Caso contrário (i.e. f(a)\cdot f(x)>0) a raiz está em [x,b] e definimos a\leftarrow x. Se o produto for zero, achamos exatamente a raiz.\n
  • Observação sobre truncamento: o enunciado pede 5 casas decimais sem arredondamento; em cada valor que apresentarmos (para x_k, f(\cdot)) devemos truncar para 5 casas decimais (ou seja, cortar o que vem depois da 5ª casa, sem arredondar).

Passo 3

Iteração k=0: calcular x_0, f(a_0), f(x_0) e o sinal\n
  • Dados iniciais: a_0=1, b_0=2.\n
  • Calcule f(a_0):
f(a_0)=f(1)=1\cdot\ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1.
Truncado a 5 casas decimais fica -1 (já exato).\n
  • Calcule f(b_0) apenas para usar na fórmula:
f(2)=2\ln 2 - 1 \approx 2\cdot 0{,}693147\ldots -1 = 0{,}386294\ldots
Truncando a 5 casas decimais obtemos f(2)=0{,}38629.\n
  • Calcule x_0 pela fórmula da falsa posição usando a_0, b_0, f(a_0)=-1 e f(b_0)=0{,}38629:
x_0=\frac{1\cdot 0{,}38629 - 2\cdot(-1)}{0{,}38629 - (-1)}=\frac{0{,}38629+2}{1{,}38629}\approx 1{,}721347520\ldots
Truncando para 5 casas decimais (sem arredondamento) obtemos x_0=1{,}72134.\n
  • Calcule f(x_0). Usamos f(x)=x\ln x -1. Avaliando em x_0\approx 1{,}721347520\ldots e truncando o resultado a 5 casas decimais dá f(x_0)=-0{,}06513.\n
  • Produto f(x_0)\cdot f(a_0)=(-0{,}06513)\cdot(-1)=+0{,}06513>0. Portanto o sinal é + e a raiz está em [x_0,b_0]=[1{,}72134,2]. Assim atualizamos a_1=1{,}72134, b_1=2.\n

Passo 4

Iteração k=1: calcular x_1, f(a_1), f(x_1) e o sinal\n
  • Dados: a_1=1{,}72134, b_1=2. Temos f(a_1)=-0{,}06513 (do passo anterior) e f(b_1)=0{,}38629.\n
  • Aplicando a fórmula:
x_1=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f(a_1)}{f(b_1)-f(a_1)} =\frac{1{,}72134\cdot 0{,}38629 - 2\cdot(-0{,}06513)}{0{,}38629-(-0{,}06513)}.
Calculando e truncando o resultado a 5 casas decimais obtemos x_1=1{,}76153.\n
  • Avaliando f(x_1)=x_1\ln x_1 -1 e truncando a 5 casas decimais obtemos f(x_1)=-0{,}00265.\n
  • Produto f(x_1)\cdot f(a_1)=(-0{,}00265)\cdot(-0{,}06513)=+(\text{positivo}). Na tabela marca-se +. Logo a raiz fica em [x_1,b_1]=[1{,}76153,2] e atualizamos a_2=1{,}76153, b_2=2.

Passo 5

Iteração k=2: calcular x_2, f(a_2), f(x_2) e o sinal\n
  • Dados: a_2=1{,}76153, b_2=2. Temos f(a_2)=-0{,}00265 e f(b_2)=0{,}38629.\n
  • Fórmula:
x_2=\frac{1{,}76153\cdot 0{,}38629 - 2\cdot(-0{,}00265)}{0{,}38629-(-0{,}00265)}.
Calculando e truncando a 5 casas decimais obtemos x_2=1{,}76315.\n
  • Avaliando f(x_2) e truncando a 5 casas decimais obtemos f(x_2)=-0{,}00011.\n
  • Produto f(x_2)\cdot f(a_2)=(-0{,}00011)\cdot(-0{,}00265)=+ (positivo). Na tabela marca-se +. Assim a raiz fica em [x_2,b_2]=[1{,}76315,2] e atualizamos a_3=1{,}76315, b_3=2.

Passo 6

Iteração k=3: calcular x_3, f(a_3), f(x_3) e o sinal\n
  • Dados: a_3=1{,}76315, b_3=2. Temos f(a_3)=-0{,}00011 e f(b_3)=0{,}38629.\n
  • Fórmula:
x_3=\frac{1{,}76315\cdot 0{,}38629 - 2\cdot(-0{,}00011)}{0{,}38629-(-0{,}00011)}.
Calculando e truncando a 5 casas decimais obtemos x_3=1{,}76319.\n
  • Avaliando f(x_3)=x_3\ln x_3 -1 e truncando a 5 casas decimais obtemos f(x_3)=-0{,}00005.\n
  • Produto f(x_3)\cdot f(a_3)=(-0{,}00005)\cdot(-0{,}00011)=+ (positivo). Na tabela marca-se +. Portanto a raiz continua em [1{,}76319,2] caso queiramos continuar.

Resposta

k=0: a_{0}=1, b_{0}=2, x_{0}=1{,}72134, f(a_{0})=-1, f(x_{0})=-0{,}06513, Sinal +\n
k=1: a_{1}=1{,}72134, b_{1}=2, x_{1}=1{,}76153, f(a_{1})=-0{,}06513, f(x_{1})=-0{,}00265, Sinal +\n
k=2: a_{2}=1{,}76153, b_{2}=2, x_{2}=1{,}76315, f(a_{2})=-0{,}00265, f(x_{2})=-0{,}00011, Sinal +\n
k=3: a_{3}=1{,}76315, b_{3}=2, x_{3}=1{,}76319, f(a_{3})=-0{,}00011, f(x_{3})=-0{,}00005, Sinal +

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