Use o método da falsa posição para determinar uma aproximação para a solução da equação
em
, preenchendo a seguinte tabela (Use 5 casas decimais sem arredondamento).
Sinal
0
1
2
1.72134
-1
-0.06513
+
1
1.72134
2
1.76153
-0.06513
-0.00265
+
2
1.76153
2
1.76315
-0.00265
-0.00011
+
3
1.76315
2
1.76319
-0.00011
-0.00005
+
|
|
|
|
|
|
|
Sinal
|
| 0 | 1 | 2 | 1.72134 | -1 | -0.06513 | + |
| 1 | 1.72134 | 2 | 1.76153 | -0.06513 | -0.00265 | + |
| 2 | 1.76153 | 2 | 1.76315 | -0.00265 | -0.00011 | + |
| 3 | 1.76315 | 2 | 1.76319 | -0.00011 | -0.00005 | + |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado\n
- Pede-se aplicar o método da falsa posição (regula falsi) para aproximar a solução da equação
no intervalo e preencher a tabela com 5 casas decimais sem arredondamento (ou seja, truncando).\n - Dados iniciais (do enunciado / tabela):
, . A tabela já apresenta valores a preencher nas iterações ; vamos calcular e justificar cada entrada.\n - Função envolvida:
.\n - Objetivo em cada iteração: calcular
pela fórmula da falsa posição, avaliar e , e indicar o sinal do produto (para decidir o novo intervalo).
Passo 2
Breve explicação didática do método da falsa posição (como usar na prova)\n
- Ideia: aproximamos a raiz de
entre e por interpolação linear entre os pontos e . A reta que passa por esses pontos corta o eixo em um ponto que é a nossa aproximação.\n - Fórmula da falsa posição (regula falsi):
Expliquei: aqui
e
são as extremidades do intervalo atual,
e
são os valores da função nesses pontos, e a fórmula deriva da equação da reta entre
e
resolvida para
.\n
- Critério para atualizar o intervalo: calcular
. Se a raiz está em e definimos . Caso contrário (i.e. ) a raiz está em e definimos . Se o produto for zero, achamos exatamente a raiz.\n - Observação sobre truncamento: o enunciado pede 5 casas decimais sem arredondamento; em cada valor que apresentarmos (para
, ) devemos truncar para 5 casas decimais (ou seja, cortar o que vem depois da 5ª casa, sem arredondar).
Passo 3
Iteração
: calcular
,
,
e o sinal\n
- Dados iniciais:
, .\n - Calcule
:
Truncado a 5 casas decimais fica
(já exato).\n
- Calcule
apenas para usar na fórmula:
Truncando a 5 casas decimais obtemos
.\n
- Calcule
pela fórmula da falsa posição usando , , e :
Truncando para 5 casas decimais (sem arredondamento) obtemos
.\n
- Calcule
. Usamos . Avaliando em e truncando o resultado a 5 casas decimais dá .\n - Produto
. Portanto o sinal é e a raiz está em . Assim atualizamos , .\n
Passo 4
Iteração
: calcular
,
,
e o sinal\n
- Dados:
, . Temos (do passo anterior) e .\n - Aplicando a fórmula:
Calculando e truncando o resultado a 5 casas decimais obtemos
.\n
- Avaliando
e truncando a 5 casas decimais obtemos .\n - Produto
. Na tabela marca-se . Logo a raiz fica em e atualizamos , .
Passo 5
Iteração
: calcular
,
,
e o sinal\n
- Dados:
, . Temos e .\n - Fórmula:
Calculando e truncando a 5 casas decimais obtemos
.\n
- Avaliando
e truncando a 5 casas decimais obtemos .\n - Produto
(positivo). Na tabela marca-se . Assim a raiz fica em e atualizamos , .
Passo 6
Iteração
: calcular
,
,
e o sinal\n
- Dados:
, . Temos e .\n - Fórmula:
Calculando e truncando a 5 casas decimais obtemos
.\n
- Avaliando
e truncando a 5 casas decimais obtemos .\n - Produto
(positivo). Na tabela marca-se . Portanto a raiz continua em caso queiramos continuar.
Resposta
k=0:
,
,
,
,
, Sinal
\n
k=1: ,
,
,
,
, Sinal
\n
k=2: ,
,
,
,
, Sinal
\n
k=3: ,
,
,
,
, Sinal
k=1:
k=2:
k=3: