Determine os limites abaixo:
lim x 1(1ln x-1x-1)

Passo 1

O enunciado pede
limxto1l(1ln x-1x-1r)
Aqui o conteúdo é limite de função com indeterminação do tipo infty - infty (já que ln xto0 e x-1to0). Vamos precisar combinar as frações e usar a expansão de ln x em torno de x=1.

Passo 2

Primeiro, colocamos em um único quociente:
1ln x-1x-1 =(x-1)-ln x(x-1),ln x
Observamos que, ao xto1, tanto o numerador (x-1)-ln x quanto o denominador (x-1)ln x vão a zero, caracterizando uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, usamos a expansão em série (fórmula de Taylor) de ln x perto de x=1:
ln x = (x-1) - (x-1)^22 + ol((x-1)^2r)
Logo,
(x-1)-ln x =(x-1)-l[(x-1)-tfrac(x-1)^22+ol((x-1)^2r)r] =(x-1)^22+ol((x-1)^2r)

Passo 4

Substituindo no quociente:
(x-1)-ln x(x-1),ln x approx tfrac(x-1)^22(x-1),l((x-1)+o(x-1)r) =tfrac(x-1)^22(x-1)^2+ol((x-1)^2r) longrightarrow12

Resposta

12

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