Exercício 1.6.3. Calcule as seguintes integrais:
Ij=integral tg^2(13 x) sec ^2(13 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
Ij=integral tan^2l(tfrac13xr),sec^2l(tfrac13xr),dx
O conteúdo aqui é substituição em integrais trigonométricas, pois sabemos que a derivada de tan gera um fator sec^2.

Passo 2

Faça a substituição
t = tanl(tfrac13xr)
Diferenciando,
dt = ddxtanl(tfrac13 xr),dx = tfrac13,sec^2l(tfrac13 xr),dx Longrightarrow sec^2l(tfrac13 xr),dx = 3,dt

Passo 3

Substitua na integral original:
Ij = integral tan^2l(tfrac13 xr),sec^2l(tfrac13 xr),dx = integral t^2,(3,dt) = 3integral t^2,dt

Passo 4

Calcule a integral em t:
3integral t^2,dt = 3cdot t^33 + C = t^3 + C

Passo 5

Retornando à variável x, temos t=tanl(tfrac13 xr), logo
Ij = tan^3l(tfrac13xr) + C

Resposta

Ij = tan^3l(tfrac13xr) + C

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