Determine os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \cos (y)}{x^{2}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}}.
Informações dadas:
  • A função a analisar é f(x,y)=\dfrac{x^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}}, definida para (x,y)\neq(0,0) (e bem definida quando o denominador não é zero).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Queremos saber se o limite existe quando (x,y) se aproxima de (0,0), e se existir, qual é seu valor.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para funções de duas variáveis, o limite em um ponto, se existir, deve ser o mesmo para qualquer caminho que leve ao ponto. Ou seja, se eu pegar diferentes curvas (x(t),y(t)) com (x(t),y(t))\to(0,0) quando t\to0, o valor de f(x(t),y(t)) deverá convergir ao mesmo número L. Se eu encontrar dois caminhos que levam a dois limites diferentes, então o limite total não existe. Vou usar essa ideia para testar caminhos simples porque é a forma mais prática na prova quando suspeitamos que o limite não existe.

Passo 3

Primeiro caminho: aproximar por y=0. Isso significa que nos aproximamos de (0,0) tomando pontos (x,0) com x\to0. Substituindo y=0 na expressão temos:
\frac{x^{2}\cos(0)}{x^{2}+0^{4}}=\frac{x^{2}\cdot 1}{x^{2}}=1\quad\text{para }x\neq0.
Logo o limite ao longo desse caminho é
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0}\frac{x^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}}=\lim_{x\to0}1=1.
Então, ao aproximar-se pelo eixo x (onde y=0), obtemos o valor 1.

Passo 4

Segundo caminho: aproximar por x=0. Tomamos pontos (0,y) com y\to0. Substituindo x=0 obtemos
\frac{0^{2}\cos(y)}{0^{2}+y^{4}}=\frac{0}{y^{4}}=0\quad\text{para }y\neq0.
Assim o limite ao longo desse caminho é
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,x=0}\frac{x^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}}=\lim_{y\to0}0=0.
Logo, ao aproximar-se pelo eixo y (onde x=0), obtemos o valor 0.

Passo 5

Conclusão a partir dos dois caminhos: como o limite ao longo de y=0 é 1 e o limite ao longo de x=0 é 0, e esses dois números são diferentes, não pode existir um único número L que seja limite para todos os caminhos. Portanto o limite total não existe. (Por contraste, se ambos fossem iguais ainda precisaríamos checar outros caminhos, mas encontrar dois caminhos com valores diferentes já prova que o limite não existe.)
Comentário extra (para reforçar e te dar confiança): podemos até ver um terceiro caminho que dá outro valor diferente, mostrando que há muitos caminhos com limites diferentes. Por exemplo, tomar x=y^{2}. Substituindo temos x^{2}=y^{4} e
\frac{x^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}}=\frac{y^{4}\cos(y)}{y^{4}+y^{4}}=\frac{1}{2}\cos(y).
Então ao fazer y\to0 obtemos \tfrac{1}{2}. Isso mostra que já encontramos caminhos com limites 1, 0 e \tfrac{1}{2} — definitivo: não existe limite único.

Resposta

O limite não existe.

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