Determine os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações dadas:
- A função a analisar é
, definida para (e bem definida quando o denominador não é zero). - O ponto de interesse é
. - Queremos saber se o limite existe quando
se aproxima de , e se existir, qual é seu valor.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para funções de duas variáveis, o limite em um ponto, se existir, deve ser o mesmo para qualquer caminho que leve ao ponto. Ou seja, se eu pegar diferentes curvas
com
quando
, o valor de
deverá convergir ao mesmo número
. Se eu encontrar dois caminhos que levam a dois limites diferentes, então o limite total não existe. Vou usar essa ideia para testar caminhos simples porque é a forma mais prática na prova quando suspeitamos que o limite não existe.
Passo 3
Primeiro caminho: aproximar por
. Isso significa que nos aproximamos de
tomando pontos
com
. Substituindo
na expressão temos:
Logo o limite ao longo desse caminho é
Então, ao aproximar-se pelo eixo
(onde
), obtemos o valor
.
Passo 4
Segundo caminho: aproximar por
. Tomamos pontos
com
. Substituindo
obtemos
Assim o limite ao longo desse caminho é
Logo, ao aproximar-se pelo eixo
(onde
), obtemos o valor
.
Passo 5
Conclusão a partir dos dois caminhos: como o limite ao longo de
é
e o limite ao longo de
é
, e esses dois números são diferentes, não pode existir um único número
que seja limite para todos os caminhos. Portanto o limite total não existe. (Por contraste, se ambos fossem iguais ainda precisaríamos checar outros caminhos, mas encontrar dois caminhos com valores diferentes já prova que o limite não existe.)
Comentário extra (para reforçar e te dar confiança): podemos até ver um terceiro caminho que dá outro valor diferente, mostrando que há muitos caminhos com limites diferentes. Por exemplo, tomar . Substituindo temos
e
Comentário extra (para reforçar e te dar confiança): podemos até ver um terceiro caminho que dá outro valor diferente, mostrando que há muitos caminhos com limites diferentes. Por exemplo, tomar
Então ao fazer
obtemos
. Isso mostra que já encontramos caminhos com limites
,
e
— definitivo: não existe limite único.
Resposta
O limite não existe.