Determine os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:\n
- O ponto de aproximação é
.\n - A expressão depende apenas da soma
.\n - Quando
temos .\n - Avaliando diretamente, o numerador tende a
e o denominador tende a . Portanto a forma é indeterminada .\n
Passo 2
O que significa termos uma indeterminação
e o que dá para fazer?\n
- Indeterminação
quer dizer que tanto numerador quanto denominador vão a zero; não podemos simplesmente fazer substituição direta — o limite pode existir ou não.\n - Estratégias comuns: simplificar algebricamente, fazer uma substituição que reduza a expressão a uma variável só, ou usar propriedades de funções contínuas após simplificar.\n
Aqui é natural observar que a expressão depende só de. Então uma boa ideia é reduzir para um limite de uma única variável e em seguida simplificar usando a técnica do conjugado (multiplicar por ), porque temos uma raiz no denominador.
Passo 3
Redução para uma variável só: faça
.\n
- Quando
temos .\n - A expressão original transforma-se em
e o limite passa a ser
Isso é válido porque a aplicação
é contínua e o comportamento da expressão é determinado apenas por
.
Passo 4
Resolver a indeterminação
usando o conjugado.\n
- Multiplicamos numerador e denominador por
(o conjugado do denominador) para eliminar a raiz no denominador:
- No denominador usamos a identidade de diferença de quadrados:
- Assim a fração fica, para
,
Observação importante: podemos cancelar
porque estamos considerando o limite enquanto
se aproxima de
, isto é, em uma vizinhança de
excluindo o próprio
. Em pontos diferentes de
a expressão é igual a
.
Passo 5
Avaliar o limite final usando continuidade da função raiz quadrada.\n
- Vimos que, para
próximo de (e ), a expressão é .\n - A função
é contínua em , logo
- Calculando,
Passo 6
Conclusão e observação prática (como fazer rápido na prova):\n
- Sempre que vir
com raiz no denominador e forma , pense em substituição expressão que torna a dependência explícita e/ou em multiplicar pelo conjugado.\n - Aqui a conta rápida é: multiplicar por
e cancelar , chegando em e então substituir para obter .