Determine os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(6,3)} \frac{x+y-9}{\sqrt{x+y}-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(6,3)} \frac{x+y-9}{\sqrt{x+y}-3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:\n
  • O ponto de aproximação é (6,3).\n
  • A expressão depende apenas da soma x+y.\n
  • Quando (x,y)\to(6,3) temos x+y\to 6+3=9.\n
  • Avaliando diretamente, o numerador tende a 6+3-9=0 e o denominador tende a \sqrt{9}-3=0. Portanto a forma é indeterminada \frac{0}{0}.\n

Passo 2

O que significa termos uma indeterminação \frac{0}{0} e o que dá para fazer?\n
  • Indeterminação \frac{0}{0} quer dizer que tanto numerador quanto denominador vão a zero; não podemos simplesmente fazer substituição direta — o limite pode existir ou não.\n
  • Estratégias comuns: simplificar algebricamente, fazer uma substituição que reduza a expressão a uma variável só, ou usar propriedades de funções contínuas após simplificar.\n
    Aqui é natural observar que a expressão depende só de x+y. Então uma boa ideia é reduzir para um limite de uma única variável u=x+y e em seguida simplificar usando a técnica do conjugado (multiplicar por \sqrt{\cdot}+3), porque temos uma raiz no denominador.

Passo 3

Redução para uma variável só: faça u=x+y.\n
  • Quando (x,y)\to(6,3) temos u\to 9.\n
  • A expressão original transforma-se em
\frac{x+y-9}{\sqrt{x+y}-3}=\frac{u-9}{\sqrt{u}-3},
e o limite passa a ser
\lim_{u\to 9} \frac{u-9}{\sqrt{u}-3}.
Isso é válido porque a aplicação (x,y)\mapsto x+y é contínua e o comportamento da expressão é determinado apenas por u.

Passo 4

Resolver a indeterminação \displaystyle \lim_{u\to 9}\frac{u-9}{\sqrt{u}-3} usando o conjugado.\n
  • Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{u}+3 (o conjugado do denominador) para eliminar a raiz no denominador:
\frac{u-9}{\sqrt{u}-3}\cdot\frac{\sqrt{u}+3}{\sqrt{u}+3} =\frac{(u-9)(\sqrt{u}+3)}{(\sqrt{u}-3)(\sqrt{u}+3)}.
  • No denominador usamos a identidade de diferença de quadrados:
(\sqrt{u}-3)(\sqrt{u}+3)=u-9.
  • Assim a fração fica, para u\neq 9,
\frac{(u-9)(\sqrt{u}+3)}{u-9}=\sqrt{u}+3.
Observação importante: podemos cancelar u-9 porque estamos considerando o limite enquanto u se aproxima de 9, isto é, em uma vizinhança de 9 excluindo o próprio u=9. Em pontos diferentes de 9 a expressão é igual a \sqrt{u}+3.

Passo 5

Avaliar o limite final usando continuidade da função raiz quadrada.\n
  • Vimos que, para u próximo de 9 (e u\neq 9), a expressão é \sqrt{u}+3.\n
  • A função u\mapsto\sqrt{u} é contínua em u=9, logo
\lim_{u\to 9}(\sqrt{u}+3)=\sqrt{9}+3.
  • Calculando,
\sqrt{9}+3=3+3=6.

Passo 6

Conclusão e observação prática (como fazer rápido na prova):\n
  • Sempre que vir \frac{f(u)-f(a)}{g(u)-g(a)} com raiz no denominador e forma \frac{0}{0}, pense em substituição u= expressão que torna a dependência explícita e/ou em multiplicar pelo conjugado.\n
  • Aqui a conta rápida é: multiplicar por \sqrt{x+y}+3 e cancelar x+y-9, chegando em \sqrt{x+y}+3 e então substituir x+y=9 para obter 6.

Resposta

6

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