Determine os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \cos \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x,y)=x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)
está escrita explicitamente, e o ponto de interesse é (0,0). Note que a expressão \cos\!\left(\frac{x}{y}\right) exige y\neq0, ou seja, a função está definida nos pontos onde y\neq0. Ainda assim, o limite bidimensional considera aproximações de (x,y) a (0,0) por pontos do domínio (portanto com y\neq0).

Passo 2

Estratégia intuitiva (ainda sem cálculo formal): a função \cos é sempre limitada entre -1 e 1. Então o fator oscilatório \cos\!\left(\frac{x}{y}\right) não pode aumentar o módulo: ele apenas multiplica x por algo com módulo no máximo 1. Assim faz sentido que o produto deva tender a 0 se x\to0. Para tornar isso rigoroso vamos usar uma desigualdade simples e depois um argumento \varepsilon- \delta.

Passo 3

Prova da desigualdade usada. Sabemos que para todo t\in\mathbb{R} vale
-1 \le \cos t \le 1.
Aplicando isso a t=\dfrac{x}{y} (sempre que y\neq0) obtemos
\left|\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right| \le 1.
Multiplicando por |x| (que é não negativo) temos a desigualdade chave:
\left|x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right| \le |x|.

Passo 4

Relacionando |x| com a distância ao ponto (0,0). A distância euclidiana de (x,y) a (0,0) é
\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
É sempre verdade que
|x| \le \sqrt{x^{2}+y^{2}},
pois |x|=\sqrt{x^{2}} e \sqrt{x^{2}}\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos
\left|x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right| \le |x| \le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta concluindo o limite. Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta e y\neq0, então
\left|x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)-0\right|<\varepsilon.
Pelo passo anterior basta garantir \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta que implica
\left|x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta.
Escolhemos \delta=\varepsilon. Então sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon obtemos
\left|x\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right|<\varepsilon,
o que é exatamente a definição de limite com valor 0.

Passo 6

Comentário sobre a linha y=0: a função não está definida quando y=0, então não consideramos pontos exatamente sobre y=0 na verificação do limite. Isso não é problema: o limite bidimensional só exige comportamento ao nos aproximarmos por pontos do domínio. A prova \varepsilon- \delta acima cobre todas as aproximações por pontos com y\neq0, por isso é suficiente.

Resposta

0

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