está escrita explicitamente, e o ponto de interesse é (0,0). Note que a expressão \cos\!\left(\frac{x}{y}\right) exige y\neq0, ou seja, a função está definida nos pontos onde y\neq0. Ainda assim, o limite bidimensional considera aproximações de (x,y) a (0,0) por pontos do domínio (portanto com y\neq0).
Passo 2
Estratégia intuitiva (ainda sem cálculo formal): a função \cos é sempre limitada entre -1 e 1. Então o fator oscilatório \cos\!\left(\frac{x}{y}\right) não pode aumentar o módulo: ele apenas multiplica x por algo com módulo no máximo 1. Assim faz sentido que o produto deva tender a 0 se x\to0. Para tornar isso rigoroso vamos usar uma desigualdade simples e depois um argumento \varepsilon-\delta.
Passo 3
Prova da desigualdade usada. Sabemos que para todo t\in\mathbb{R} vale
-1 \le \cos t \le 1.
Aplicando isso a t=\dfrac{x}{y} (sempre que y\neq0) obtemos
Prova \varepsilon-\delta concluindo o limite. Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta e y\neq0, então
o que é exatamente a definição de limite com valor 0.
Passo 6
Comentário sobre a linha y=0: a função não está definida quando y=0, então não consideramos pontos exatamente sobre y=0 na verificação do limite. Isso não é problema: o limite bidimensional só exige comportamento ao nos aproximarmos por pontos do domínio. A prova \varepsilon-\delta acima cobre todas as aproximações por pontos com y\neq0, por isso é suficiente.