Determine os limites, caso existam.
Calcule os limites
Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O ponto de aproximação é
. - É útil verificar o valor do numerador e do denominador no ponto:
- Assim obtém-se uma forma indeterminada
, portanto é preciso manipular a expressão para investigar melhor o comportamento quando .
Passo 2
Vamos fatorar o numerador para ver se há cancelamento possível. Observar que
Expliquei o passo: agrupei os dois primeiros termos em
e os dois últimos como
, o que revelou o fator comum
e levou à fatoração acima.
Passo 3
Agora fatoramos / reescrevemos o denominador completando quadrados. Note que
Expliquei o passo: somei e subtraí as constantes necessárias para formar
e
; as constantes adicionadas somam
, que coincide com o termo constante original.
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original obtemos uma forma mais simples:
Para simplificar a notação, faça a mudança de variáveis
então o problema passa a estudar
Comentário didático: isso é útil porque deslocamos o ponto de interesse para a origem, o que facilita testar diferentes caminhos de aproximação.
Passo 5
Para verificar se o limite existe, uma estratégia padrão é testar aproximações ao longo de retas passando pela origem. Considere a reta
(isto é,
ou
), com constante
. Substituindo
na expressão obtemos
desde que
. Ao fazer
(movendo-se ao longo dessa reta até a origem), o valor tende a
, que depende de
.
Passo 6
Como o valor limite ao longo da reta
depende de
, diferentes retas dão diferentes limites. Exemplos concretos:
- Para
(isto é, ) temos - Para
(isto é, ) temos - Para
temos .
Esses três valores diferentes (
) mostram que a aproximação pela reta escolhida altera o resultado.
Passo 7
Conclusão lógica: para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, todas as possíveis formas de aproximar-se do ponto (todas as curvas/pastas) devem produzir o mesmo valor. Aqui já encontramos duas retas (por exemplo
e
) que dão limites diferentes, logo não existe um valor único. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.