Determine os limites, caso existam.
Calcule os limites
\lim _{P \rightarrow(1,2)} \frac{x y-2 x-y+2}{x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{P\to(1,2)} \frac{xy-2x-y+2}{x^{2}+y^{2}-2x-4y+5}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O ponto de aproximação é P=(1,2).
  • É útil verificar o valor do numerador e do denominador no ponto: \text{numerador em }(1,2):\; 1\cdot2-2\cdot1-2+2=0,
\text{denominador em }(1,2):\; 1^{2}+2^{2}-2\cdot1-4\cdot2+5=1+4-2-8+5=0.
  • Assim obtém-se uma forma indeterminada 0/0, portanto é preciso manipular a expressão para investigar melhor o comportamento quando (x,y)\to(1,2).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador para ver se há cancelamento possível. Observar que
xy-2x-y+2 = x(y-2)-(y-2) = (x-1)(y-2).
Expliquei o passo: agrupei os dois primeiros termos em x(y-2) e os dois últimos como -(y-2), o que revelou o fator comum (y-2) e levou à fatoração acima.

Passo 3

Agora fatoramos / reescrevemos o denominador completando quadrados. Note que
x^{2}+y^{2}-2x-4y+5 = (x^{2}-2x+1)+(y^{2}-4y+4) = (x-1)^{2}+(y-2)^{2}.
Expliquei o passo: somei e subtraí as constantes necessárias para formar (x-1)^{2} e (y-2)^{2}; as constantes adicionadas somam 1+4=5, que coincide com o termo constante original.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original obtemos uma forma mais simples:
\frac{xy-2x-y+2}{x^{2}+y^{2}-2x-4y+5} = \frac{(x-1)(y-2)}{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}.
Para simplificar a notação, faça a mudança de variáveis
u=x-1,\qquad v=y-2,
então o problema passa a estudar
\lim_{(u,v)\to(0,0)} \frac{uv}{u^{2}+v^{2}}.
Comentário didático: isso é útil porque deslocamos o ponto de interesse para a origem, o que facilita testar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 5

Para verificar se o limite existe, uma estratégia padrão é testar aproximações ao longo de retas passando pela origem. Considere a reta v=k u (isto é, y-2=k(x-1) ou y=k(x-1)+2), com constante k. Substituindo v=k u na expressão obtemos
\frac{uv}{u^{2}+v^{2}}=\frac{u(k u)}{u^{2}+(k u)^{2}}=\frac{k u^{2}}{u^{2}(1+k^{2})}=\frac{k}{1+k^{2}},
desde que u\neq0. Ao fazer u\to0 (movendo-se ao longo dessa reta até a origem), o valor tende a \dfrac{k}{1+k^{2}}, que depende de k.

Passo 6

Como o valor limite ao longo da reta v=k u depende de k, diferentes retas dão diferentes limites. Exemplos concretos:
  • Para k=0 (isto é, y=2) temos \frac{k}{1+k^{2}}=\frac{0}{1}=0.
  • Para k=1 (isto é, y=x+1) temos \frac{k}{1+k^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
  • Para k=-1 temos -\tfrac{1}{2}.
Esses três valores diferentes ( 0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) mostram que a aproximação pela reta escolhida altera o resultado.

Passo 7

Conclusão lógica: para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, todas as possíveis formas de aproximar-se do ponto (todas as curvas/pastas) devem produzir o mesmo valor. Aqui já encontramos duas retas (por exemplo k=0 e k=1) que dão limites diferentes, logo não existe um valor único. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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