Determine o conjunto no qual a função é contínua.
g(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
g(x,y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}.
O que é pedido: determinar o conjunto de pontos (x,y) em que g é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 25-x^{2}-y^{2}.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige argumento não negativo para produzir um número real.
  • A função está definida sobre pares (x,y) reais (potencialmente restrita pelo domínio da raiz).

Passo 2

Encontrar o domínio onde g está definida (primeiro passo necessário antes de discutir continuidade).
A raiz quadrada exige
25-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Rearranjando isso dá
x^{2}+y^{2}\le 25.
Portanto o domínio de definição de g (os pontos onde faz sentido calcular g(x,y) como número real) é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 25\},
ou seja, o disco fechado de raio 5 centrado na origem.

Passo 3

Mostrar que a função interior ao radical é contínua em toda parte.
Defina h(x,y)=25-x^{2}-y^{2}. Explico por que h é contínua em todo \mathbb{R}^2:
  • A função x\mapsto x^{2} é contínua em \mathbb{R}; idem para y\mapsto y^{2}.
  • A soma e a diferença de funções contínuas são contínuas.
  • A função constante 25 é contínua.
    Juntando, a expressão 25-x^{2}-y^{2} é combinação de funções contínuas, logo h é contínua em todo \mathbb{R}^2. Em particular, h é contínua em cada ponto do domínio D.

Passo 4

Explicar a continuidade da função raiz na sua região de interesse.
Considere r(t)=\sqrt{t} definida para t\ge 0. A função r é contínua em todo [0,\infty). Intuição/evidência simples:
  • Para t>0 a raiz é suave e conhecida como função contínua.
  • Em t=0 vale \lim_{t\to 0^+}\sqrt{t}=0=r(0), então também é contínua em 0.
    Formalmente, a continuidade de r em qualquer t_0\ge0 pode ser verificada por propriedades de limites ou por desigualdades como |\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\dfrac{|a-b|}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} quando a,b\ge0.

Passo 5

Usar o teorema da composição para concluir continuidade de g no domínio.
Teorema (versão usada): se h é contínua em um ponto P e r é contínua em h(P), então a composição r\circ h é contínua em P.
Aqui g=r\circ h com h(x,y)=25-x^{2}-y^{2} e r(t)=\sqrt{t}. Para qualquer ponto P=(x_0,y_0)\in D tem-se h(P)=25-x_0^{2}-y_0^{2}\ge0, e já mostramos que h é contínua em P e r é contínua em h(P). Logo g é contínua em P. Como isto vale para todo P\in D, conclui-se que g é contínua em todo o conjunto D.

Passo 6

Verificação direta em um ponto da fronteira (intuitive check para tirar dúvida)
Se P está na fronteira do disco, então x_0^{2}+y_0^{2}=25 e h(P)=0. Tome uma sequência (x_n,y_n)\to(x_0,y_0). Pela continuidade de h temos h(x_n,y_n)\to h(x_0,y_0)=0. Como \sqrt{\cdot} é contínua em 0, segue \sqrt{h(x_n,y_n)}\to \sqrt{0}=0=g(x_0,y_0). Assim a continuidade em pontos da fronteira também está confirmada. (Isto reforça a aplicação do teorema da composição.)

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 25\}

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