Determine o conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido: determinar o conjunto de pontos
em que
é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz quadrada é
. - A raiz quadrada
exige argumento não negativo para produzir um número real. - A função está definida sobre pares
reais (potencialmente restrita pelo domínio da raiz).
Passo 2
Encontrar o domínio onde
está definida (primeiro passo necessário antes de discutir continuidade).
A raiz quadrada exige
Rearranjando isso dá
Portanto o domínio de definição de
(os pontos onde faz sentido calcular
como número real) é
ou seja, o disco fechado de raio
centrado na origem.
Passo 3
Mostrar que a função interior ao radical é contínua em toda parte.
Defina
. Explico por que
é contínua em todo
:
- A função
é contínua em ; idem para . - A soma e a diferença de funções contínuas são contínuas.
- A função constante
é contínua.
Juntando, a expressãoé combinação de funções contínuas, logo é contínua em todo . Em particular, é contínua em cada ponto do domínio .
Passo 4
Explicar a continuidade da função raiz na sua região de interesse.
Considere
definida para
. A função
é contínua em todo
. Intuição/evidência simples:
- Para
a raiz é suave e conhecida como função contínua. - Em
vale , então também é contínua em .
Formalmente, a continuidade deem qualquer pode ser verificada por propriedades de limites ou por desigualdades como quando .
Passo 5
Usar o teorema da composição para concluir continuidade de
no domínio.
Teorema (versão usada): se
é contínua em um ponto
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
.
Aqui
com
e
. Para qualquer ponto
tem-se
, e já mostramos que
é contínua em
e
é contínua em
. Logo
é contínua em
. Como isto vale para todo
, conclui-se que
é contínua em todo o conjunto
.
Passo 6
Verificação direta em um ponto da fronteira (intuitive check para tirar dúvida)
Se
está na fronteira do disco, então
e
. Tome uma sequência
. Pela continuidade de
temos
. Como
é contínua em
, segue
. Assim a continuidade em pontos da fronteira também está confirmada. (Isto reforça a aplicação do teorema da composição.)