Determine os limites se existirem:
lim x 0 1x ln x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar
limxto01xln x
Isso é um problema de Cálculo, mais especificamente de limites, onde vamos usar propriedades do logaritmo (que só existe pra ) e, pra lidar com a forma indefinida que aparecer, a gente vai recorrer à Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Antes de mais nada, como xto0^+ não está definido em , faz sentido falar em
Nesse cenário, é um número pequeno e positivo, vai a , então o produto é da forma “ ”, que é indefinida. A gente precisa descobrir pra onde esse produto tende.

Passo 3

Vamos calcular
L = limxto0^+ xln x
Pra aplicar L’Hôpital, reescrevo
xln x = ln x1/x,
que é da forma L = limxto0^+ln x1/x = limxto0^+tfrac1x-tfrac1x^2 = limxto0^+(-x) = 0 . Derivando em cima e embaixo:
Logo,
Como para temos , na prática .

Passo 4

Agora volta pro limite original:
1xln x
Se o denominador vai a , então vai a .

Resposta

limxto0^+1xln x = -infty

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