Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se a integral imprópria
integral1^+infty 2x - 3x^3 - 3x^2 + 1,dx
é convergente ou divergente.
Conteúdo da matéria: integrais impróprias, pontos de descontinuidade no intervalo e teste de comparação (ou análise de comportamento local). Vamos precisar:
  1. Identificar onde o denominador zera e criar split da integral;
  2. Estudar o comportamento perto desse zero (polo simples);
  3. Estudar o comportamento para .

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos em que o denominador some:
x^3 - 3x^2 + 1 = 0
Testando valores:
  • Em integral1^+infty = integral1^c + integralc^+infty, : .
  • Em : .
  • Em : .
    Ou seja, tem uma raiz entre 2 e 3. Essa raiz é única real ali. Logo, a gente divide a integral em
porque em dá um “ponto de dor” (polo).

Passo 3

Agora, perto de 2x-3x^3-3x^2+1 ;approx; constantex - c : se aproximar de um polo simples do tipo
Pra entender, note que quando está bem próximo de , o fator principal é o zero simples no denominador, aí a integral

tem comportamento de , que vai a ou no limite. Isso já diz que a integral de até é divergente.

Passo 4

Mesmo que a gente veja depois para 2x-3x^3-3x^2+1 sim 2xx^3 = 2x^2, que
e converge (é um -integral com ), isso não salva a integral inteira: se uma das partes diverge, o total diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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