Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se a integral imprópria
é convergente ou divergente.
Conteúdo da matéria: integrais impróprias, pontos de descontinuidade no intervalo e teste de comparação (ou análise de comportamento local). Vamos precisar:
Conteúdo da matéria: integrais impróprias, pontos de descontinuidade no intervalo e teste de comparação (ou análise de comportamento local). Vamos precisar:
- Identificar onde o denominador zera e criar split da integral;
- Estudar o comportamento perto desse zero (polo simples);
- Estudar o comportamento para
.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos em que o denominador some:
Testando valores:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
Ou seja, tem uma raizentre 2 e 3. Essa raiz é única real ali. Logo, a gente divide a integral em
porque em
dá um “ponto de dor” (polo).
Passo 3
Agora, perto de
: se aproximar de um polo simples do tipo
Pra entender, note que quando
está bem próximo de
, o fator principal é o zero simples no denominador, aí a integral
tem comportamento de , que vai a
ou
no limite. Isso já diz que a integral de
até
é divergente.
tem comportamento de
Passo 4
Mesmo que a gente veja depois para
que
e
converge (é um
-integral com
), isso não salva a integral inteira: se uma das partes diverge, o total diverge.
Resposta
A integral é divergente.