Determine os limites se existirem:
Passo 1
O enunciado nos dá o quociente
e pede o limite quando
tende para
:
Informações relevantes: para
temos
e
. A questão é determinar se o quociente converge a um número finito, diverge para
ou para
, ou não existe.
Passo 2
Identificar a forma indeterminada. Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, a expressão tem a forma indeterminada
. Para esse caso é natural usar o Teorema de L’Hôpital (quando aplicável) para comparar as taxas de crescimento.
Passo 3
Enunciado prático do Teorema de L’Hôpital (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (ou quando
), e
e
são ambos
ou ambos
, e se
perto do ponto, então
desde que o limite do lado direito exista (pode ser finito ou
). Em palavras: podemos comparar as derivadas para decidir o limite da razão.
Passo 4
Verificar condições para aplicar L’Hôpital. As funções
e
são diferenciáveis para
. Além disso
. A derivada de
é
, que é não nula para
. Portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 5
Aplicar L’Hôpital calculando as derivadas:
Substituindo:
Fazendo a álgebra do quociente:
Passo 6
Avaliar o novo limite. Para
temos
(uma função quadrática positiva cresce sem limite). Pelo Teorema de L’Hôpital, se a razão das derivadas tende a
, então a razão original também tende a
. Assim o limite pedido diverge para infinito positivo.
Passo 7
Uma outra forma curta (mesma ideia, reforço didático): calcular primeiro
Aplicando L’Hôpital temos
Como
e o denominador tende a
, o quociente tende a
. Isso reforça a conclusão anterior.
Passo 8
Intuição e conclusão geral rápida: logaritmos crescem muito mais devagar que potências. Para qualquer expoente positivo
vale
. Aqui com
isso implica que
vence
e o quociente vai para
. Força aí — esse tipo de argumento aparece sempre em prova e L’Hôpital é uma ferramenta direta para formalizar.