Determine os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}}{\ln x}

Passo 1

O enunciado nos dá o quociente \dfrac{x^{2}}{\ln x} e pede o limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{\ln x}.
Informações relevantes: para x\to+\infty temos \,x^{2}\to+\infty e \ln x\to+\infty. A questão é determinar se o quociente converge a um número finito, diverge para +\infty ou para -\infty, ou não existe.

Passo 2

Identificar a forma indeterminada. Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a +\infty, a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{\infty}{\infty}. Para esse caso é natural usar o Teorema de L’Hôpital (quando aplicável) para comparar as taxas de crescimento.

Passo 3

Enunciado prático do Teorema de L’Hôpital (versão usada): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (ou quando x\to+\infty), e \lim f(x) e \lim g(x) são ambos 0 ou ambos \pm\infty, e se g'(x)\neq0 perto do ponto, então
\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (pode ser finito ou \pm\infty). Em palavras: podemos comparar as derivadas para decidir o limite da razão.

Passo 4

Verificar condições para aplicar L’Hôpital. As funções f(x)=x^{2} e g(x)=\ln x são diferenciáveis para x>0. Além disso \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. A derivada de g é g'(x)=1/x, que é não nula para x>0. Portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital calculando as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Substituindo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{\ln x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{1/x}.
Fazendo a álgebra do quociente:
\frac{2x}{1/x}=2x\cdot x=2x^{2}.

Passo 6

Avaliar o novo limite. Para x\to+\infty temos 2x^{2}\to+\infty (uma função quadrática positiva cresce sem limite). Pelo Teorema de L’Hôpital, se a razão das derivadas tende a +\infty, então a razão original também tende a +\infty. Assim o limite pedido diverge para infinito positivo.

Passo 7

Uma outra forma curta (mesma ideia, reforço didático): calcular primeiro
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}.
Aplicando L’Hôpital temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{2x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^{2}}=0.
Como \dfrac{x^{2}}{\ln x}=\dfrac{1}{(\ln x)/x^{2}} e o denominador tende a 0^{+}, o quociente tende a +\infty. Isso reforça a conclusão anterior.

Passo 8

Intuição e conclusão geral rápida: logaritmos crescem muito mais devagar que potências. Para qualquer expoente positivo a>0 vale \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x^{a}}=0. Aqui com a=2 isso implica que x^{2} vence \ln x e o quociente vai para +\infty. Força aí — esse tipo de argumento aparece sempre em prova e L’Hôpital é uma ferramenta direta para formalizar.

Resposta

+\infty

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