Use coordenadas esféricas para calcular:
O volume de uma esfera de raio 5

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume de uma esfera de raio 5 usando coordenadas esféricas.
Informações dadas:
  • Raio da esfera: 5.
  • Quer-se o volume da região do espaço com todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a 5.

Passo 2

Definição e motivação das coordenadas esféricas (o que cada variável significa). Em coordenadas esféricas usaremos as variáveis:
  • \rho: distância do ponto à origem (ou seja, o raio em coordenadas esféricas).
  • \varphi: ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar), com 0\le \varphi\le \pi.
  • \theta: ângulo no plano xy (ângulo azimutal), com 0\le \theta<2\pi.
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.

Passo 3

Elemento de volume em coordenadas esféricas (jacobiano). Quando mudamos de (x,y,z) para (\rho,\varphi,\theta), o elemento de volume dV transforma-se em
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicação do jacobiano: \rho^{2}\sin\varphi mede a “dilatação” do volume ao passar para as coordenadas esféricas — um pequeno paralelepípedo em (\rho,\varphi,\theta) tem volume aproximado \rho^{2}\sin\varphi\,\Delta\rho\,\Delta\varphi\,\Delta\theta.

Passo 4

Escolher os limites de integração para a esfera de raio 5. A esfera centrada na origem com raio 5 é descrita por 0\le \rho\le 5. Como queremos toda a esfera:
  • \rho varia de 0 até 5.
  • \varphi deve abranger do pólo norte ao pólo sul: 0\le \varphi\le \pi.
  • \theta percorre todo o círculo no plano xy: 0\le \theta\le 2\pi.
Logo o volume será o integral triplo
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5}\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \rho. Como a integranda separa em fatores dependentes de \rho e de \varphi,\theta, fazemos primeiro
\int_{0}^{5}\rho^{2}\, d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{5}=\frac{5^{3}}{3}=\frac{125}{3}.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi. Resta o fator \sin\varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi=\left. -\cos\varphi\right|_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos0)=(-(-1))-(-1)=2.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e juntar tudo. A integral em \theta de 1 no intervalo [0,2\pi] é 2\pi. Multiplicando os resultados:
V=\left(\frac{125}{3}\right)\cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{125}{3}\cdot 4\pi = \frac{500\pi}{3}.

Passo 8

Interpretação final e fórmula geral. O resultado pode ser escrito também como
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}
com R=5, o que dá V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}=\dfrac{500\pi}{3}. Boa notícia: esta é a fórmula clássica do volume de uma esfera; fizemos o cálculo direto com coordenadas esféricas para ver de onde vem.

Resposta

\dfrac{500\pi}{3}

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