Elemento de volume em coordenadas esféricas (jacobiano). Quando mudamos de (x,y,z) para (\rho,\varphi,\theta), o elemento de volume dV transforma-se em
Explicação do jacobiano: \rho^{2}\sin\varphi mede a “dilatação” do volume ao passar para as coordenadas esféricas — um pequeno paralelepípedo em (\rho,\varphi,\theta) tem volume aproximado \rho^{2}\sin\varphi\,\Delta\rho\,\Delta\varphi\,\Delta\theta.
Passo 4
Escolher os limites de integração para a esfera de raio 5. A esfera centrada na origem com raio 5 é descrita por 0\le \rho\le 5. Como queremos toda a esfera:
\rho varia de 0 até 5.
\varphi deve abranger do pólo norte ao pólo sul: 0\le \varphi\le \pi.
\theta percorre todo o círculo no plano xy: 0\le \theta\le 2\pi.
Interpretação final e fórmula geral. O resultado pode ser escrito também como
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}
com R=5, o que dá V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}=\dfrac{500\pi}{3}. Boa notícia: esta é a fórmula clássica do volume de uma esfera; fizemos o cálculo direto com coordenadas esféricas para ver de onde vem.