Use coordenadas esféricas para calcular:
\iiint_{T} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{T} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV.
  • A região T é a parte superior da esfera de raio 2 limitada pelo plano z=0 (um hemisfério superior). (Peguei essa informação da imagem.)
  • O integrando é z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 2

Escolha das coordenadas esféricas e significado das variáveis.
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho, \varphi, \theta com definições: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido a partir do eixo z positivo e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo no plano xy.
  • O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicação curta: \rho^{2}\sin\varphi aparece como o jacobiano da mudança de variáveis (é a “área” angular vezes \rho^{2}).

Passo 3

Expressar o integrando em coordenadas esféricas.
  • Temos z=\rho\cos\varphi, logo z^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
  • Também \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{\rho^{2}}=\rho (pois \rho\ge0).
  • Portanto o integrando vira z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi\cdot\rho=\rho^{3}\cos^{2}\varphi.

Passo 4

Construir o integrando completo (incluindo o jacobiano).
  • Multiplicando pelo elemento de volume: \big(\rho^{3}\cos^{2}\varphi\big)\cdot\big(\rho^{2}\sin\varphi\big)=\rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi.
  • Assim a integral em coordenadas esféricas é a integral tripla de \rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi sobre os limites apropriados.

Passo 5

Determinar os limites de integração (usar a geometria da região).
  • A região T é o hemisfério superior de raio 2. Isso implica:
    • \rho varia de 0 até 2.
    • \varphi varia de 0 até \tfrac{\pi}{2} (porque é a porção com z\ge0).
    • \theta varia de 0 até 2\pi.
  • (Repare: peguei o valor do raio 2 da imagem que acompanha o enunciado.)

Passo 6

Escrever a integral com os limites encontrados e separar fatores quando possível.
  • A integral fica \iiint_{T} z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2}\rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • A função no integrando separa-se em produto de uma função de \rho, uma de \varphi e outra de \theta, portanto a integral é o produto de integrais: \left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{2}\rho^{5}\,d\rho\right).

Passo 7

Calcular a integral em \rho.
  • \int_{0}^{2}\rho^{5}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{6}}{6}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{6}}{6}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}.

Passo 8

Calcular a integral em \varphi por substituição.
  • Faça u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi, ou \sin\varphi\,d\varphi=-du.
  • Quando \varphi=0 tem u=1; quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} tem u=0.
  • Assim \int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=1}^{0}u^{2}(-du)=\int_{0}^{1}u^{2}\,du =\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.

Passo 9

Calcular a integral em \theta e montar o produto (ainda sem a linha final de resposta).
  • \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  • Portanto a integral total vale 2\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{32}{3}.

Resposta

\dfrac{64\pi}{9}

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