Use coordenadas esféricas para calcular: \iiint_{T} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
Pede-se calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{T} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV.
A região T é a parte superior da esfera de raio 2 limitada pelo plano z=0 (um hemisfério superior). (Peguei essa informação da imagem.)
O integrando é z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Passo 2
Escolha das coordenadas esféricas e significado das variáveis.
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho, \varphi, \theta com definições:x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido a partir do eixo z positivo e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo no plano xy.
O elemento de volume édV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicação curta: \rho^{2}\sin\varphi aparece como o jacobiano da mudança de variáveis (é a “área” angular vezes \rho^{2}).
Passo 3
Expressar o integrando em coordenadas esféricas.
Temos z=\rho\cos\varphi, logo z^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
Também \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{\rho^{2}}=\rho (pois \rho\ge0).
Portanto o integrando viraz^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi\cdot\rho=\rho^{3}\cos^{2}\varphi.
Passo 4
Construir o integrando completo (incluindo o jacobiano).
Multiplicando pelo elemento de volume:\big(\rho^{3}\cos^{2}\varphi\big)\cdot\big(\rho^{2}\sin\varphi\big)=\rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi.
Assim a integral em coordenadas esféricas é a integral tripla de \rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi sobre os limites apropriados.
Passo 5
Determinar os limites de integração (usar a geometria da região).
A região T é o hemisfério superior de raio 2. Isso implica:
\rho varia de 0 até 2.
\varphi varia de 0 até \tfrac{\pi}{2} (porque é a porção com z\ge0).
\theta varia de 0 até 2\pi.
(Repare: peguei o valor do raio 2 da imagem que acompanha o enunciado.)
Passo 6
Escrever a integral com os limites encontrados e separar fatores quando possível.
A integral fica\iiint_{T} z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2}\rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
A função no integrando separa-se em produto de uma função de \rho, uma de \varphi e outra de \theta, portanto a integral é o produto de integrais:\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{2}\rho^{5}\,d\rho\right).