Determine os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)^{x},
onde a\neq 0. O conteúdo aqui é o cálculo de uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Para resolver, vamos usar a transformação com logaritmo natural e, em seguida, o fato de que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 2

Definimos
y = \Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)^{x}
e vamos estudar \ln y. Temos
\ln y = x\;\ln\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr).

Passo 3

Para encontrar \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln y, usamos a expansão de \ln(1+u) para u\to 0:
\ln(1+u)=u - \frac{u^{2}}{2}+o(u^{2}).
Aqui u = \frac{a}{x}, logo
\ln\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr) = \frac{a}{x} - \frac{1}{2}\,\frac{a^{2}}{x^{2}} + o\Bigl(\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Multiplicando por x, obtemos
x\;\ln\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr) = a - \frac{a^{2}}{2x} + o\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr).
Assim,
\lim_{x\to+\infty}x\;\ln\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)=a.

Passo 4

Como \ln y\to a, conclui-se que
y = e^{\ln y}\longrightarrow e^{a}.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{a}{x}\Bigr)^{x} = e^{a}.

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