Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
a_{n}=\frac{n \operatorname{sen}^{2} n}{n^{5}+1};

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{n \sin^{2}n}{n^{5} + 1}
e pede: 1) o termo de ordem n (já está dado); 2) o termo de ordem n+1; 3) verificar se converge; 4) se convergir, achar o limite.

Passo 2

O termo de ordem n é justamente
a_{n} = \frac{n \sin^{2}n}{n^{5} + 1}.

Passo 3

O termo de ordem n+1 obtém-se trocando n por n+1:
a_{n+1} = \frac{(n+1)\,\sin^{2}(n+1)}{(n+1)^{5} + 1}.

Passo 4

Para estudar a convergência, note que 0 \le \sin^{2}n \le 1, logo
0 \le \bigl|a_{n}\bigr| = \frac{n\,\sin^{2}n}{n^{5} + 1} \le \frac{n}{n^{5}} = \frac{1}{n^{4}}.
Como \frac1{n^{4}}\to0 quando n\to\infty, pelo Teorema do Confronto segue que
a_{n}\to0.
Portanto, a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

Termo de ordem n:
a_{n} = \frac{n \sin^{2}n}{n^{5} + 1}.
Termo de ordem n+1:
a_{n+1} = \frac{(n+1)\,\sin^{2}(n+1)}{(n+1)^{5} + 1}.
A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

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