Verifique se os bens A e B são substitutos ou complementares considerando suas equações de demanda nos seguintes casos:
a) q_{A}=\frac{5 p_{B}}{2+p_{A}^{2}} e q_{B}=\frac{3 p_{A}}{3+\sqrt{p_{B}}}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos classificar os bens A e B como substitutos ou complementares a partir das suas curvas de demanda cruzada. As funções são
q_{A} = \frac{5\,p_{B}}{2 + p_{A}^{2}}
e
q_{B} = \frac{3\,p_{A}}{3 + \sqrt{p_{B}}}.
Para bens substitutos, um aumento no preço de um bem leva a um aumento na demanda do outro \partial q_{A}/\partial p_{B}>0 e \partial q_{B}/\partial p_{A}>0. Para bens complementares, os sinais seriam negativos.

Passo 2

Calcular \partial q_{A}/\partial p_{B}. Tratando p_{A} como constante, temos
q_{A}(p_{B}) = \frac{5}{2 + p_{A}^{2}}\;p_{B}
que é função linear em p_{B}. Logo,
\frac{\partial q_{A}}{\partial p_{B}} = \frac{5}{2 + p_{A}^{2}}.

Passo 3

Analisar o sinal de \partial q_{A}/\partial p_{B}. Note que 2 + p_{A}^{2}>0 para todo p_{A}, logo
\frac{\partial q_{A}}{\partial p_{B}}>0.
Isto indica que, se o preço de B sobe, a demanda por A aumenta, comportamento típico de bens substitutos.

Passo 4

Calcular \partial q_{B}/\partial p_{A}. Nesta função, \sqrt{p_{B}} é constante em relação a p_{A}, assim
q_{B}(p_{A}) = \frac{3}{3 + \sqrt{p_{B}}}\;p_{A}
e portanto
\frac{\partial q_{B}}{\partial p_{A}} = \frac{3}{3 + \sqrt{p_{B}}}.

Passo 5

Analisar o sinal de \partial q_{B}/\partial p_{A}. Como 3 + \sqrt{p_{B}}>0, segue que
\frac{\partial q_{B}}{\partial p_{A}}>0.
Ou seja, um aumento no preço de A faz a demanda de B subir, também típico de bens substitutos.

Resposta

Os bens A e B são bens substitutos.

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