Determine os limites infinitos a seguir.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+3}-x\right)$

O enunciado pede calcular \r

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+3}-x\bigr)

. \r
Aqui temos uma forma indeterminada

\infty-\infty

, então vamos usar a técnica de racionalização pelo conjugado para resolver.

Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada

\sqrt{x^{2}+3}+x

: \r

%\r \sqrt{x^{2}+3}-x\r =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+3}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+3}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+3}+x}\r =\frac{x^{2}+3 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}+x}\r =\frac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}.\r

Para

x\to\infty

\sqrt{x^{2}+3}\sim x

, logo o denominador cresce como

2x

. Alternativamente, dividimos numerador e denominador por

x

: \r

%\r \frac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}\r =\frac{3}{x\bigl(\sqrt{1+3/x^{2}}+1\bigr)}\r \longrightarrow \frac{3}{x\cdot2}\r \to 0.\r

\displaystyle 0

Determine os limites infinitos a seguir. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+3}-x\right)