Determine os limites infinitos a seguir.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-3 x}-x\right)$

O enunciado pede para calcular

\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-3x}-x\bigr).

Isso é um caso de forma indeterminada

\infty-\infty

. Vamos usar o conteúdo de limites infinitos e a técnica de racionalização, multiplicando pelo conjugado, para resolver.

Multiplicamos a expressão pelo conjugado de

\sqrt{x^{2}-3x}-x

, ou seja,

\sqrt{x^{2}-3x}-x = \bigl(\sqrt{x^{2}-3x}-x\bigr)\cdot \frac{\sqrt{x^{2}-3x}+x}{\sqrt{x^{2}-3x}+x} = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-3x}\bigr)^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-3x}+x}.

No numerador fica

\bigl(\sqrt{x^{2}-3x}\bigr)^{2}-x^{2} = x^{2}-3x-x^{2} =-3x,

portanto a expressão vira

\frac{-3x}{\sqrt{x^{2}-3x}+x}.

Agora fatoramos

x

no denominador:

\frac{-3x}{\sqrt{x^{2}-3x}+x} = \frac{-3x}{x\sqrt{1-\tfrac{3}{x}}+x} = \frac{-3}{\sqrt{1-\tfrac{3}{x}}+1}.

Quando

x\to\infty

, temos

\sqrt{1-\tfrac{3}{x}}\to1

, logo

\lim_{x\to\infty}\frac{-3}{\sqrt{1-\tfrac{3}{x}}+1} =\frac{-3}{1+1} =-\frac{3}{2}.

-\frac{3}{2}

Determine os limites infinitos a seguir. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-3 x}-x\right)