Determine os limites infinitos a seguir.
$\lim _{x \rightarrow \infty} \ln \left(\frac{2}{x^{2}}\right)$

O enunciado pede o limite

\lim_{x\to\infty}\ln\!\biggl(\frac{2}{x^{2}}\biggr).

O conteúdo envolvido é limite de função composta envolvendo logaritmo natural.

Antes de aplicar o logaritmo, calcule o limite interno. Como

x^2\to\infty

quando

x\to\infty

, temos

\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{2}}=0.

Sabemos que o logaritmo natural é definido em

(0,\infty)

e que

\lim_{y\to0^{+}}\ln(y)=-\infty.

Ou seja, ao levar o argumento de

\ln

a zero pela direita, o logaritmo tende a

-\infty

Aplicando essa propriedade à composição, obtemos

\lim_{x\to\infty}\ln\!\biggl(\frac{2}{x^{2}}\biggr) =\lim_{y\to0^{+}}\ln(y) =-\infty.

-\infty

Determine os limites infinitos a seguir. \lim _{x \rightarrow \infty} \ln \left(\frac{2}{x^{2}}\right)