Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão é uma função racional, isto é, quociente de dois polinômios: numerador x^{2}+x+1 e denominador x^{2}+2x.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=2.
  • A única pergunta é o valor desse limite quando x tende a 2.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): se uma função f(x) for contínua em um ponto a, então
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Polinômios são contínuos para todo x. Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em qualquer ponto onde o denominador é diferente de zero. Portanto, para usar substituição direta devemos verificar se o denominador em x=2 é diferente de zero.

Passo 3

Calcule o denominador em x=2. Substituindo:
x^{2}+2x \Big|_{x=2} = 2^{2}+2\cdot 2.
Agora as contas passo a passo:
2^{2}=4,
2\cdot 2=4,
portanto
4+4=8.
Como 8\neq 0, o denominador não se anula em x=2.

Passo 4

Conclusão a partir do passo anterior: a função racional \dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x} é contínua em x=2 (porque o denominador em 2 é diferente de zero). Logo podemos aplicar substituição direta no limite:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x}=\frac{2^{2}+2+1}{2^{2}+2\cdot 2}.

Passo 5

Calcule o numerador em x=2 passo a passo:
2^{2}=4,
4+2=6,
6+1=7,
então o numerador vale 7. O denominador já foi calculado e vale 8. Portanto o quociente é
\frac{7}{8}.
Observação didática: não há indeterminação do tipo \frac{0}{0} nem \frac{\infty}{\infty}, então métodos como fatoração para cancelar termos ou a regra de L’Hôpital não são necessários aqui. Basta substituição direta porque a função é contínua em x=2.

Passo 6

Um exemplo extra rápido para fixar: se tivéssemos \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x}, bastaria substituir x=1 desde que o denominador não zere em 1. Neste caso o denominador em 1 seria 1+2=3\neq 0, então o limite seria \dfrac{1+1+1}{3}=\dfrac{3}{3}=1. Isso mostra o mesmo princípio de continuidade aplicado a outro ponto.

Resposta

\dfrac{7}{8}

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