Determine os limites das seguintes seqüências:
d) \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) e^{-n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n = (n+1)e^{-n}
e pede o limite quando n\to\infty. O conteúdo principal aqui é limites de sequência e a comparação entre crescimento polinomial e exponencial.

Passo 2

Como a_n>0 para todo n, podemos aplicar o critério da razão para sequências: se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L<1,
então \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+2)e^{-(n+1)}}{(n+1)e^{-n}} =\frac{n+2}{n+1}\,e^{-1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =e^{-1}<1.
Como o limite da razão é menor que 1, o critério garante que a_n\to0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}(n+1)e^{-n}=0.

Exercícios relacionados