Mostre que
ii) a sequência \left(c^{1 / n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, c>0 é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
a_{n} = c^{1/n},\quad n\in\mathbb{N},\;c>0,
é convergente e determinar seu limite. O conteúdo aqui é limites de sequências reais; vamos usar o logaritmo natural e a continuidade da função exponencial para resolver.

Passo 2

Primeiro, note que se c=1 então
a_n = 1^{1/n} = 1
para todo n, logo a sequência é constante e converge trivialmente a 1.

Passo 3

Agora suponha c>0 e c\neq 1. Defina
b_n = \ln\bigl(a_n\bigr) = \ln\!\bigl(c^{1/n}\bigr).
Pelas propriedades do logaritmo,
b_n = \frac{\ln\text{(c)}}{n},
onde \ln\text{(c)} é uma constante real não nula.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\text{(c)}}{n} = \ln\text{(c)}\,\cdot 0 = 0.
E como a exponencial é contínua em \mathbb{R},
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty}b_n} = e^0 = 1.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}c^{1/n}=1.

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