Mostre que
ii) a sequência
é convergente e calcule seu limite.
ii) a sequência
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é convergente e determinar seu limite. O conteúdo aqui é limites de sequências reais; vamos usar o logaritmo natural e a continuidade da função exponencial para resolver.
Passo 2
Primeiro, note que se
então
para todo
, logo a sequência é constante e converge trivialmente a
.
Passo 3
Agora suponha
e
. Defina
Pelas propriedades do logaritmo,
onde
é uma constante real não nula.
Passo 4
Como
, temos
E como a exponencial é contínua em
,