Determine os limites das seguintes seqüências:
f) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2} \ln n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}\ln n}{2^{n}}.
Aqui a sequência tem um polinômio em n vezes \ln n no numerador e a exponencial 2^{n} no denominador. Sabemos que exponenciais crescem muito mais rápido que qualquer polinômio (mesmo multiplicado por \ln n). Para formalizar isso, vamos usar o teste da razão para sequências: se
a_n=\frac{n^{2}\ln n}{2^{n}}
e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1,
então \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Calculemos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\frac{(n+1)^{2}\ln(n+1)}{2^{\,n+1}}}{\frac{n^{2}\ln n}{2^{\,n}}} =\frac{(n+1)^{2}\,\ln(n+1)}{2\,n^{2}\,\ln n}.

Passo 3

Avalie o limite dessa razão. Note que
(n+1)^{2}=n^{2}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{2}, \quad \ln(n+1)=\ln n+\ln\!\Bigl(1+\frac1n\Bigr) =\ln n\Bigl(1+o(1)\Bigr).
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\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n^{2}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}\,\ln n\,(1+o(1))}{2\,n^{2}\,\ln n} =\frac{1}{2}\bigl(1+o(1)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac12<1.
Pelo teste da razão, isso implica que a_n\to0.

Resposta

0

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