Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 1}} \ln \left(x^{2}+y^{2}+10\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{\substack{x\to1\y\to1}}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+10\bigr).
Isso envolve a composição da função interior f(x,y)=x^{2}+y^{2}+10 com o \ln, ambas contínuas em ponto adequado.

Passo 2

Como f(x,y)=x^{2}+y^{2}+10 é contínua em (1,1), temos
\lim_{\substack{x\to1\y\to1}}f(x,y) =\lim_{\substack{x\to1\y\to1}}\bigl(x^{2}+y^{2}+10\bigr) =1^{2}+1^{2}+10 =12.

Passo 3

A função \ln(u) é contínua para u>0, e o valor limite de f(x,y) é 12>0. Portanto
\lim_{\substack{x\to1\y\to1}}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+10\bigr) =\ln\Bigl(\lim_{\substack{x\to1\y\to1}}\bigl(x^{2}+y^{2}+10\bigr)\Bigr) =\ln(12).

Resposta

\ln(12)

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