Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 4 \\\ y \rightarrow 2}} \ln \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{\substack{x\to4 \\\ y\to2}} \ln\!\biggl(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\biggr).
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e uso da continuidade de funções compostas (razão e logaritmo).

Passo 2

Precisamos garantir que a função esteja bem definida perto de (4,2), em especial que o denominador não zere:
x - y + 1 \quad\text{em}\quad (x,y)=(4,2)\;\text{é}\;4-2+1=3\neq0.é
Logo a expressão dentro do \ln é contínua em torno do ponto.

Passo 3

Calculamos o valor da fração no ponto:
x^{2}+y^{2}=4^{2}+2^{2}=16+4=20,
x - y +1 = 3,
então
\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\;\longrightarrow\;\frac{20}{3}.

Passo 4

Como o \ln é contínuo em (0,\infty), podemos trocar limite e logaritmo:
\lim_{\substack{x\to4 \\\ y\to2}} \ln\!\biggl(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\biggr) =\ln\!\biggl(\lim_{\substack{x\to4 \\\ y\to2}}\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\biggr) =\ln\!\Bigl(\tfrac{20}{3}\Bigr).

Resposta

\ln\!\bigl(\tfrac{20}{3}\bigr)

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