Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow -2 \\\ y \rightarrow -1}} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y) tende a (-2,-1). Vamos usar o fato de que uma função racional de polinômios é contínua em todo ponto em que o denominador não é zero.

Passo 2

Verificamos o denominador em (x,y)=(-2,-1):
x^{2}+y^{2} = (-2)^{2} + (-1)^{2} = 4 + 1 = 5 \neq 0.
Como o denominador não se anula, f é contínua nesse ponto e o limite coincide com o valor de f em (-2,-1).

Passo 3

Calculamos então o valor de f em (-2,-1):
f(-2,-1) = \frac{(-2)\cdot(-1)}{(-2)^{2}+(-1)^{2}} = \frac{2}{5}.

Resposta

\lim_{\substack{x \to -2 \\\ y \to -1}} \frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{2}{5}.

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