Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \sqrt{\frac{x^{2} y-7 y-3}{y^{5}+8 x+2}}

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite de uma função de duas variáveis dada por
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}} \sqrt{\frac{x^{2}y - 7y - 3}{y^{5} + 8x + 2}}.
O conteúdo envolvido é limite em \R^2 e análise do domínio da raiz quadrada, que exige que o radicando seja não negativo.

Passo 2

Verificamos o valor do radicando em (x,y)=(0,0) por substituição direta:
x^{2}y - 7y - 3 \big|_{(0,0)} = -3, \quad y^{5} + 8x + 2 \big|_{(0,0)} = 2,
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\frac{x^{2}y - 7y - 3}{y^{5} + 8x + 2}\Bigg|_{(0,0)} = \frac{-3}{2} < 0.
Em um entorno de (0,0), os termos x^2y e y^5+8x são pequenos, de modo que o quociente permanece próximo de -\tfrac32, ou seja, negativo.

Passo 3

Como o radicando fica negativo em qualquer vizinhança de (0,0), a função não está definida em valores reais próximos de (0,0). Logo, não há como atribuir um valor real à raiz quadrada, e o limite não existe no sentido real.

Resposta

O limite não existe (não há valor real).

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