Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 2}} 2 x y+y^{2}+\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\bigl(2xy + y^2 + \frac{x}{y}\bigr).
Esse é um caso de limite de função de duas variáveis onde cada termo é uma combinação de somas, produtos e divisão por y. Como y\to2\neq0, não há ponto de descontinuidade na vizinhança de (1,2), e podemos usar a continuidade de funções elementares para calcular o limite.

Passo 2

Cada parcela da função
f(x,y)=2xy,\quad g(x,y)=y^2,\quad h(x,y)=\frac{x}{y}
é contínua em torno de (1,2). Logo,
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\bigl(2xy + y^2 + \tfrac{x}{y}\bigr) =2\cdot1\cdot2 + 2^2 + \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{17}{2}.

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