Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado pede o limite em (x,y)\to(0,0) da função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x\,y}
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar estimativas (desigualdades) que mostrem que cada parcela tende a zero quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Antes de tudo, note que \sqrt{x\,y} é real apenas se x\,y\ge0. Assim o domínio real de f é a união dos quadrantes I e III (mais eixos). Contudo, para o limite em (0,0) basta mostrar que, em qualquer sequência (x,y)\to(0,0) com x\,y\ge0, ambos os termos vão a zero.

Passo 3

Primeiro termo:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\le\;|x|+|y|.
Como (x,y)\to(0,0) implica |x|+|y|\to0, temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0.

Passo 4

Segundo termo: usando a desigualdade de AM–GM para |x| e |y|,
\sqrt{x\,y}=\sqrt{|x|\,|y|}\;\le\;\frac{|x|+|y|}{2}.
Novamente |x|+|y|\to0 leva a \sqrt{x\,y}\to0.

Passo 5

Juntando as duas estimativas, para todo (x,y) no domínio:
0\;\le\;f(x,y)\;=\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x\,y}\;\le\;|x|+|y|+\tfrac{|x|+|y|}{2} \;=\;\tfrac{3}{2}\,(|x|+|y|).
Como |x|+|y|\to0, pelo Teorema do Confronto segue f(x,y)\to0.

Resposta

0

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