Determine a linearização L(x) de f(x) no ponto x_{o}
f(x)=x+\frac{1}{x}, \quad x_{o}=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a linearização L(x) de uma função no ponto dado. Dados fornecidos:
  • Função: f(x)=x+\dfrac{1}{x}.
  • Ponto onde linearizar: x_{0}=1.
    O que é pedido: encontrar a aproximação linear (polinômio de primeiro grau) de f em torno de x_{0}=1, ou seja, a expressão de L(x).

Passo 2

Definição e fórmula importante (conceito que vamos usar).
  • A linearização de uma função f em torno de x_{0} é a reta tangente ao gráfico de f em x_{0} e fornece a aproximação de primeira ordem de f perto de x_{0}.
  • A fórmula padrão é
L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Explicando cada termo:
  • f(x_{0}) é o valor da função no ponto de tangência — é o ponto de contato vertical entre a reta e o gráfico.
  • f'(x_{0}) é a derivada de f em x_{0} — dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente.
  • (x-x_{0}) é o deslocamento horizontal a partir do ponto onde linearizamos.
    Na prova: memorize essa fórmula e aplique em três passos: calcular f(x_{0}), calcular f'(x_{0}) e substituir.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo.
  • Reescreve a parte racional como potência: \dfrac{1}{x}=x^{-1}.
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de x^{-1} pela regra da potência: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=-1, logo a derivada é -1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    Portanto
f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Avaliar f(x_{0}) e f'(x_{0}) em x_{0}=1.
  • Calcular f(1):
f(1)=1+\dfrac{1}{1}=1+1=2.
  • Calcular f'(1):
f'(1)=1-\dfrac{1}{1^{2}}=1-1=0.

Passo 5

Substituir na fórmula da linearização.
Usando
L(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\,(x-x_{0}),
com f(1)=2, f'(1)=0 e x_{0}=1, obtemos
L(x)=2+0\cdot(x-1)=2.

Passo 6

Interpretação e dica prática para prova.
  • A linearização é a constante L(x)=2: a reta tangente é horizontal no ponto x=1.
  • Isso acontece porque a derivada em 1 é zero, logo a inclinação da tangente é 0.
  • Uso prático: para aproximar f perto de 1, por exemplo f(1{,}1), basta usar L(1{,}1)=2. Comparando com o valor exato
f(1{,}1)=1{,}1+\dfrac{1}{1{,}1}\approx1{,}1+0{,}90909\approx2{,}00909,
a aproximação 2 é razoável para um deslocamento pequeno.
  • Dica de prova: escreva as etapas (valor da função, derivada, substituição) claramente; se a derivada for zero destaque que a linearização é constante.

Resposta

L(x)=2

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