Determine a linearização
de
no ponto
Passo 1
O enunciado pede para determinar a linearização
de uma função no ponto dado. Dados fornecidos:
- Função:
. - Ponto onde linearizar:
.
O que é pedido: encontrar a aproximação linear (polinômio de primeiro grau) deem torno de , ou seja, a expressão de .
Passo 2
Definição e fórmula importante (conceito que vamos usar).
- A linearização de uma função
em torno de é a reta tangente ao gráfico de em e fornece a aproximação de primeira ordem de perto de . - A fórmula padrão é
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto de tangência — é o ponto de contato vertical entre a reta e o gráfico. -
é a derivada de em — dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente. -
é o deslocamento horizontal a partir do ponto onde linearizamos.
Na prova: memorize essa fórmula e aplique em três passos: calcular, calcular e substituir.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo.
- Reescreve a parte racional como potência:
. - Derivada de
é . - Derivada de
pela regra da potência: se então . Aqui , logo a derivada é .
Portanto
Passo 4
Avaliar
e
em
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 5
Substituir na fórmula da linearização.
Usando
Usando
com
,
e
, obtemos
Passo 6
Interpretação e dica prática para prova.
- A linearização é a constante
: a reta tangente é horizontal no ponto . - Isso acontece porque a derivada em
é zero, logo a inclinação da tangente é . - Uso prático: para aproximar
perto de , por exemplo , basta usar . Comparando com o valor exato
a aproximação
é razoável para um deslocamento pequeno.
- Dica de prova: escreva as etapas (valor da função, derivada, substituição) claramente; se a derivada for zero destaque que a linearização é constante.