(8 pts.) Considere a função f(z)=u(x, y)+i v(x, y), definida por
f(z)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\bar{z}^{2}}{z} & \text { se } z \neq 0, & 2^{2}=0 \\\\ 0 & \text { se } z=0 . & \text { quarent } \end{array}\right.
Mostre que não existe f^{\prime}(0).
Passo 1
O enunciado nos dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) definida por
\[f(z)=\begin{cases} \dfrac{\overline{z}^{2}}{z}, & z\neq0,\\[6pt] 0, & z=0. \end{cases}
A pergunta é: mostrar que não existe f'(0)\], ou seja, que \(f não é diferenciável em 0.
Informações relevantes fornecidas:
Para z\neq0 temos explicitamente f(z)=\dfrac{\overline{z}^{2}}{z}.
Para z=0 foi definido f(0)=0.
O que precisamos verificar é a existência do limite que define a derivada complexa em 0.]
Passo 2
Lembrando a definição de derivada complexa em 0: f é diferenciável em 0 se e somente se o limite
\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}
existe (e é finito). Como f(0)=0, o quociente de diferença fica mais simples:
\frac{f(z)-f(0)}{z}=\frac{f(z)}{z}.
Então devemos estudar o limite \displaystyle\lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z}. Se esse limite não existir, então f'(0) não existe.
Passo 3
Para z\neq0 calculamos explicitamente o quociente:
Ela não depende de r (ou seja, do módulo de z), depende apenas de \theta (a direção pela qual z se aproxima de 0).
\left|e^{-4i\theta}\right|=1 para todo \theta, então os valores possíveis estão todos na unidade do círculo complexo.
Passo 5
Para que o limite \displaystyle\lim_{z\to0}\dfrac{\overline{z}^{2}}{z^{2}} exista, o valor e^{-4i\theta} obtido ao aproximar 0 por pontos com argumento \theta deve ser o mesmo para todas as direções \theta. Mas isso não ocorre: por exemplo,
Se aproximarmos 0 pela semirreta real positiva (ou seja, \theta=0), temos
\frac{\overline{z}^{2}}{z^{2}}=e^{0}=1.
Se aproximarmos 0 pela semirreta que faz \theta=\tfrac{\pi}{4} (reta a 45^\circ), temos
Os dois limites ao longo dessas direções dão valores distintos (1 e -1). Logo o limite total quando z\to0 não existe, porque já existem sequências convergentes a 0 (por diferentes direções) que produzem limites diferentes para o quociente.
Passo 6
Como o limite \displaystyle\lim_{z\to0}\dfrac{f(z)-f(0)}{z} não existe (depende da direção de aproximação), concluímos que f'(0) não existe. Em palavras: o quociente de diferença tende a e^{-4i\theta}, que varia com \theta, portanto não há um valor único limite.