(8 pts.) Considere a função f(z)=u(x, y)+i v(x, y), definida por
f(z)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\bar{z}^{2}}{z} & \text { se } z \neq 0, & 2^{2}=0 \\\\ 0 & \text { se } z=0 . & \text { quarent } \end{array}\right.
Mostre que não existe f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) definida por \[f(z)=\begin{cases} \dfrac{\overline{z}^{2}}{z}, & z\neq0,\\[6pt] 0, & z=0. \end{cases}
A pergunta é: mostrar que não existe f'(0)\], ou seja, que \(f não é diferenciável em 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para z\neq0 temos explicitamente f(z)=\dfrac{\overline{z}^{2}}{z}.
  • Para z=0 foi definido f(0)=0.
  • O que precisamos verificar é a existência do limite que define a derivada complexa em 0.]

Passo 2

Lembrando a definição de derivada complexa em 0: f é diferenciável em 0 se e somente se o limite
\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}
existe (e é finito). Como f(0)=0, o quociente de diferença fica mais simples:
\frac{f(z)-f(0)}{z}=\frac{f(z)}{z}.
Então devemos estudar o limite \displaystyle\lim_{z\to0}\frac{f(z)}{z}. Se esse limite não existir, então f'(0) não existe.

Passo 3

Para z\neq0 calculamos explicitamente o quociente:
\frac{f(z)}{z}=\frac{\dfrac{\overline{z}^{2}}{z}}{z}=\frac{\overline{z}^{2}}{z^{2}}.
Portanto a existência de f'(0) é equivalente à existência do limite
\lim_{z\to0}\frac{\overline{z}^{2}}{z^{2}}.

Passo 4

Para analisar esse limite é útil usar a representação polar de z. Escrevemos
z=r e^{i\theta},\qquad r>0,\\ \theta=\arg(z).
Então \overline{z}=r e^{-i\theta}. Substituindo em \dfrac{\overline{z}^{2}}{z^{2}} obtemos
\frac{\overline{z}^{2}}{z^{2}}=\frac{(r e^{-i\theta})^{2}}{(r e^{i\theta})^{2}}=\frac{r^{2} e^{-2i\theta}}{r^{2} e^{2i\theta}}=e^{-4i\theta}.
Observe dois pontos importantes desta expressão:
  • Ela não depende de r (ou seja, do módulo de z), depende apenas de \theta (a direção pela qual z se aproxima de 0).
  • \left|e^{-4i\theta}\right|=1 para todo \theta, então os valores possíveis estão todos na unidade do círculo complexo.

Passo 5

Para que o limite \displaystyle\lim_{z\to0}\dfrac{\overline{z}^{2}}{z^{2}} exista, o valor e^{-4i\theta} obtido ao aproximar 0 por pontos com argumento \theta deve ser o mesmo para todas as direções \theta. Mas isso não ocorre: por exemplo,
  • Se aproximarmos 0 pela semirreta real positiva (ou seja, \theta=0), temos
\frac{\overline{z}^{2}}{z^{2}}=e^{0}=1.
  • Se aproximarmos 0 pela semirreta que faz \theta=\tfrac{\pi}{4} (reta a 45^\circ), temos
\frac{\overline{z}^{2}}{z^{2}}=e^{-4i\cdot(\pi/4)}=e^{-i\pi}=-1.
Os dois limites ao longo dessas direções dão valores distintos ( 1 e -1). Logo o limite total quando z\to0 não existe, porque já existem sequências convergentes a 0 (por diferentes direções) que produzem limites diferentes para o quociente.

Passo 6

Como o limite \displaystyle\lim_{z\to0}\dfrac{f(z)-f(0)}{z} não existe (depende da direção de aproximação), concluímos que f'(0) não existe. Em palavras: o quociente de diferença tende a e^{-4i\theta}, que varia com \theta, portanto não há um valor único limite.

Resposta

f'(0) não existe.

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