Determine as equações da reta tangente e reta normal da curva \mathcal{C} no ponto onde t=t_{o}.
C:\left\{\begin{array}{l} x=t^{2}+1 \\ y=t^{3}+2 t \end{array}, \quad t_{o}=-2\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica C por
x=t^{2}+1
y=t^{3}+2t
e pede as equações da reta tangente e da reta normal no ponto correspondente a t=t_{o}=-2.
Informações relevantes:
  • As funções paramétricas são x(t)=t^{2}+1 e y(t)=t^{3}+2t.
  • O parâmetro no ponto pedido é t_{o}=-2.
  • Quer-se a reta tangente à curva em t_{o} e a reta normal (reta perpendicular à tangente) nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar as coordenadas do ponto da curva quando t=t_{o}=-2.
Calcular x(t_{o}):
x(-2)=(-2)^{2}+1=4+1=5.
Calcular y(t_{o}):
y(-2)=(-2)^{3}+2(-2)=-8-4=-12.
Portanto o ponto da curva é (x_{0},y_{0})=(5,-12).

Passo 3

Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da tangente naquele ponto. Para curvas paramétricas a inclinação \dfrac{dy}{dx} é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Aqui:
  • \dfrac{dx}{dt} é a derivada da função x(t) em relação a t.
  • \dfrac{dy}{dt} é a derivada da função y(t) em relação a t.
    Essa fórmula vem da regra da cadeia: \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}, isolando \dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Calcular as derivadas em função de t:
\frac{dx}{dt}=2t, \qquad \frac{dy}{dt}=3t^{2}+2.
Avaliar em t=-2:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=-2}=2(-2)=-4,
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=-2}=3(-2)^{2}+2=3\cdot4+2=12+2=14.
Então a inclinação da tangente em t=-2 é
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=-2}=\frac{14}{-4}=-\frac{7}{2}.
Interpretação: a reta tangente naquele ponto tem coeficiente angular m_{\text{tan}}=-\dfrac{7}{2}.

Passo 5

Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m_{\text{tan}}(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(5,-12) e m_{\text{tan}}=-\dfrac{7}{2}. Substituindo:
y-(-12)=-\frac{7}{2}\,(x-5).
Ou seja,
y+12=-\frac{7}{2}(x-5).
Se for preciso colocar na forma explícita y=mx+b, podemos expandir:
y+12=-\frac{7}{2}x+\frac{35}{2}
y=-\frac{7}{2}x+\frac{35}{2}-12
y=-\frac{7}{2}x+\frac{35-24}{2}= -\frac{7}{2}x+\frac{11}{2}.

Passo 6

Agora a reta normal: por definição, a reta normal é perpendicular à tangente naquele ponto. Se a inclinação da tangente é m_{\text{tan}} e m_{\text{tan}}\neq0, a inclinação da normal é o negativo do inverso:
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}}.
Isso porque duas retas são perpendiculares quando os produtos de seus coeficientes angulares é -1.
Aplicando com m_{\text{tan}}=-\dfrac{7}{2}:
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{-\dfrac{7}{2}}=\frac{2}{7}.

Passo 7

Equação da reta normal em forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m_{\text{norm}}(x-x_{0}),
com (x_{0},y_{0})=(5,-12) e m_{\text{norm}}=\dfrac{2}{7}. Assim:
y+12=\frac{2}{7}(x-5).
Forma explícita y=mx+b, se desejada:
y+12=\frac{2}{7}x-\frac{10}{7}
y=\frac{2}{7}x-\frac{10}{7}-12
y=\frac{2}{7}x-\frac{10+84}{7}=\frac{2}{7}x-\frac{94}{7}.

Resposta

Reta tangente: y+12=-\dfrac{7}{2}(x-5)
Reta normal: y+12=\dfrac{2}{7}(x-5)

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