Determine o lugar geométrico dos pontos z tais que \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)=1.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto dos pontos complexos z tais que a parte real de z^{2} é igual a 1. Ou seja, pede-se determinar o lugar geométrico
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}(z^{2})=1\,\}.
Informações relevantes dadas:
  • z representa um número complexo arbitrário.
  • A condição é \operatorname{Re}(z^{2})=1.
    O que se pede: descrever geometricamente o conjunto de todos os z que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais, que é o passo padrão para entender expressões com \operatorname{Re}. Seja
z = x + i y,
onde x e y são números reais (isto é, x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z)). Isso transforma o problema do plano complexo para o plano cartesiano com coordenadas (x,y).

Passo 3

Agora calculamos z^{2} de forma explícita passo a passo. Usando z=x+iy,
z^{2} = (x+iy)^{2}.
Aplicando a expansão de um quadrado:
(x+iy)^{2} = x^{2} + 2 i x y + (i y)^{2}.
Como (i y)^{2} = i^{2} y^{2} = -y^{2}, fica
z^{2} = x^{2} - y^{2} + i\cdot(2 x y).

Passo 4

A parte real de z^{2} é o termo sem i. Portanto
\operatorname{Re}(z^{2}) = x^{2} - y^{2}.
A condição do enunciado é \operatorname{Re}(z^{2})=1. Substituindo obtemos a equação em x e y:
x^{2} - y^{2} = 1.

Passo 5

Interpretando geometricamente a equação encontrada: x^{2}-y^{2}=1 é a equação cartesiana de uma hipérbole central com centro na origem. Algumas propriedades importantes e fáceis de ver:
  • A hipérbole tem duas componentes (dois ramos): uma com x\ge 1 e outra com x\le -1.
  • Os vértices são (1,0) e (-1,0).
  • As assíntotas são as retas y = x e y = -x, pois para grandes |x| ou |y| a relação aproxima-se de x^{2}\approx y^{2}.
  • Não há pontos puramente imaginários na solução (ou seja, x=0 não gera solução), porque se x=0 então -y^{2}=1 é impossível em reais.

Passo 6

Para ter um parâmetro conveniente da curva, podemos usar funções hiperbólicas: para todo t\in\mathbb{R} vale \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Assim uma parametrização do conjunto é
x=\pm\operatorname{cosh} t,\qquad y=\operatorname{sinh} t,\qquad t\in\mathbb{R},
ou, escrevendo em termos de z,
z = \operatorname{cosh} t + i\,\operatorname{sinh} t \quad\text{e}\quad z = -\operatorname{cosh} t + i\,\operatorname{sinh} t, \qquad t\in\mathbb{R},
o que percorre os dois ramos da hipérbole. Como exemplo concreto, t=0 z=1 e z=-1, que são os vértices (verificação: \operatorname{Re}(1^{2})=1 e \operatorname{Re}((-1)^{2})=1).

Passo 7

Resumo geométrico intuitivo e incentivo: o lugar geométrico é a hipérbole com equação x^{2}-y^{2}=1, centrada na origem, aberta para a direita e para a esquerda. Se ficar ansioso na prova, lembra: ao ver \operatorname{Re}(z^{2}) a técnica segura é escrever z=x+iy, expandir, pegar a parte real e interpretar a equação resultante no plano (x,y). Você já fez o passo mais difícil — agora é só reconhecer formas clássicas como hipérboles e parábolas. Vai dar certo!

Resposta

\{z=x+iy\in\mathbb{C}\mid x^{2}-y^{2}=1\} (hipérbole com assíntotas y=\pm x; parametrização x=\pm\operatorname{cosh} t,\\ y=\operatorname{sinh} t,\\ t\in\mathbb{R}).

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