Determine o lugar geométrico dos pontos
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto dos pontos complexos
tais que a parte real de
é igual a
. Ou seja, pede-se determinar o lugar geométrico
Informações relevantes dadas:
-
representa um número complexo arbitrário. - A condição é
.
O que se pede: descrever geometricamente o conjunto de todos osque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas reais, que é o passo padrão para entender expressões com
. Seja
onde
e
são números reais (isto é,
e
). Isso transforma o problema do plano complexo para o plano cartesiano com coordenadas
.
Passo 3
Agora calculamos
de forma explícita passo a passo. Usando
,
Aplicando a expansão de um quadrado:
Como
, fica
Passo 4
A parte real de
é o termo sem
. Portanto
A condição do enunciado é
. Substituindo obtemos a equação em
e
:
Passo 5
Interpretando geometricamente a equação encontrada:
é a equação cartesiana de uma hipérbole central com centro na origem. Algumas propriedades importantes e fáceis de ver:
- A hipérbole tem duas componentes (dois ramos): uma com
e outra com . - Os vértices são
e . - As assíntotas são as retas
e , pois para grandes ou a relação aproxima-se de . - Não há pontos puramente imaginários na solução (ou seja,
não gera solução), porque se então é impossível em reais.
Passo 6
Para ter um parâmetro conveniente da curva, podemos usar funções hiperbólicas: para todo
vale
. Assim uma parametrização do conjunto é
ou, escrevendo em termos de
,
o que percorre os dois ramos da hipérbole. Como exemplo concreto,
dá
e
, que são os vértices (verificação:
e
).
Passo 7
Resumo geométrico intuitivo e incentivo: o lugar geométrico é a hipérbole com equação
, centrada na origem, aberta para a direita e para a esquerda. Se ficar ansioso na prova, lembra: ao ver
a técnica segura é escrever
, expandir, pegar a parte real e interpretar a equação resultante no plano
. Você já fez o passo mais difícil — agora é só reconhecer formas clássicas como hipérboles e parábolas. Vai dar certo!