Encontre todos os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
e de
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (e que usaremos):
- Os números complexos envolvidos são
e . - Nenhuma outra informação numérica é dada; portanto devemos usar as propriedades gerais do logaritmo complexo para obter todas as soluções.
Passo 2
Vamos lembrar e entender a definição do logaritmo complexo (explicando passo a passo, sem pular etapas).
Qualquer número complexo não nulo
pode ser escrito em forma polar como
onde:
-
é o módulo (distância ao zero) de , -
é um argumento de , ou seja, um ângulo tal que (isso é a fórmula de Euler).
A observação importante: o exponencial complexo é periódico em
: para qualquer inteiro
,
Por isso o argumento não é único: se
é um argumento, então
também é.
Definição do logaritmo complexo multivalorado: para
,
onde
é o logaritmo natural real do módulo
,
é um argumento fixo qualquer de
(por exemplo o argumento principal), e
percorre todos os inteiros para obter todas as branches (valores) do logaritmo. Essa é a razão de o logaritmo complexo ser multivalorado.
Passo 3
Aplicando isso ao caso
:
- Calcular o módulo:
logo
-
Encontrar argumentos de
: no plano complexo, corresponde ao ponto , que tem argumento principal . Todos os argumentos são , com . -
Substituir na fórmula do logaritmo:
Portanto
Passo 4
Verificação rápida (bom para a prova): expontenciar um desses valores deve dar
. De fato, para qualquer inteiro
,
confirmando que esses números são logaritmos de
.
Passo 5
Agora aplicar ao caso
:
- Módulo:
logo
.
-
Argumentos de
: no plano complexo, é o ponto . Um argumento principal conveniente é (outro argumento equivalente é ); todos os argumentos são , . -
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Verificação para
: para qualquer inteiro
,
confirmando que esses valores exponentiam para
.
Passo 7
Observação prática para provas: o valor principal (branch principal) costuma corresponder a
. Assim o valor principal de
é
e o de
é
. Mas a questão pediu todos os valores, então devemos listar a família completa com
.