Encontre todos os valores de \operatorname{Ln}(i) e \operatorname{Ln}(-i).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \operatorname{Ln}(i) e de \operatorname{Ln}(-i).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (e que usaremos):
  • Os números complexos envolvidos são i e -i.
  • Nenhuma outra informação numérica é dada; portanto devemos usar as propriedades gerais do logaritmo complexo para obter todas as soluções.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a definição do logaritmo complexo (explicando passo a passo, sem pular etapas).
Qualquer número complexo não nulo z pode ser escrito em forma polar como
z = r e^{i\theta},
onde:
  • r = |z| > 0 é o módulo (distância ao zero) de z,
  • \theta é um argumento de z, ou seja, um ângulo tal que e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta (isso é a fórmula de Euler).
A observação importante: o exponencial complexo é periódico em 2\pi: para qualquer inteiro k,
e^{i(\theta+2\pi k)} = e^{i\theta}.
Por isso o argumento não é único: se \theta é um argumento, então \theta+2\pi k também é.
Definição do logaritmo complexo multivalorado: para z\neq0,
\operatorname{Ln}(z)=\ln r + i(\theta+2\pi k),
onde \ln r é o logaritmo natural real do módulo r, \theta é um argumento fixo qualquer de z (por exemplo o argumento principal), e k\in\mathbb{Z} percorre todos os inteiros para obter todas as branches (valores) do logaritmo. Essa é a razão de o logaritmo complexo ser multivalorado.

Passo 3

Aplicando isso ao caso \,i:
  1. Calcular o módulo:
|i|=1,
logo
\ln|i|=\ln 1=0.
  1. Encontrar argumentos de i: no plano complexo, i corresponde ao ponto (0,1), que tem argumento principal \dfrac{\pi}{2}. Todos os argumentos são \dfrac{\pi}{2}+2\pi k, com k\in\mathbb{Z}.
  2. Substituir na fórmula do logaritmo:
\operatorname{Ln}(i)=\ln|i| + i\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)=0 + i\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right).
Portanto
\operatorname{Ln}(i)=i\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Verificação rápida (bom para a prova): expontenciar um desses valores deve dar i. De fato, para qualquer inteiro k,
e^{\,i\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)}=e^{i\pi/2}\,e^{i2\pi k}=\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\cdot 1 = i,
confirmando que esses números são logaritmos de i.

Passo 5

Agora aplicar ao caso -i:
  1. Módulo:
|-i|=1,
logo \ln|-i|=\ln 1=0.
  1. Argumentos de -i: no plano complexo, -i é o ponto (0,-1). Um argumento principal conveniente é -\dfrac{\pi}{2} (outro argumento equivalente é \dfrac{3\pi}{2}); todos os argumentos são -\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.
  2. Substituindo na fórmula:
\operatorname{Ln}(-i)=\ln|-i| + i\!\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)=i\!\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right).

Passo 6

Verificação para -i: para qualquer inteiro k,
e^{\,i\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)}=e^{-i\pi/2}\,e^{i2\pi k}=\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -i,
confirmando que esses valores exponentiam para -i.

Passo 7

Observação prática para provas: o valor principal (branch principal) costuma corresponder a k=0. Assim o valor principal de \operatorname{Ln}(i) é i\pi/2 e o de \operatorname{Ln}(-i) é -i\pi/2. Mas a questão pediu todos os valores, então devemos listar a família completa com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\operatorname{Ln}(i)=i\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right),\;k\in\mathbb{Z}
\operatorname{Ln}(-i)=i\!\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right),\;k\in\mathbb{Z}

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