Observação importante: esse quociente não depende de z_0; depende apenas de h. Assim, se o limite existir para algum z_0, ele tem que existir para todos os z_0 e ser o mesmo limite (pois o quociente é sempre \overline{h}/h).
Passo 4
Avaliar o quociente aproximando h por números reais. Tome h\in\mathbb{R}, h\to0 (por exemplo h>0 real). Então \overline{h}=h e
\frac{\overline{h}}{h}=1.
Portanto, ao aproximar por incrementos reais obtemos que o quociente tende a 1.
Passo 5
Avaliar o quociente aproximando h por números puramente imaginários. Tome h=it com t\in\mathbb{R}, t\to0 (por exemplo t>0). Então \overline{h}=\overline{it}=-it e
\frac{\overline{h}}{h}=\frac{-it}{it}=-1.
Portanto, ao aproximar por incrementos puramente imaginários obtemos que o quociente tende a -1.
Passo 6
Concluir a partir das aproximações em direções diferentes: como ao aproximar h\to0 por números reais o quociente tende a 1 e ao aproximar por números imaginários tende a -1, o limite
\lim_{h\to0}\frac{\overline{h}}{h}
não existe (porque não é único, depende da direção). Logo, para nenhum z_0 existe o limite que define f'(z_0). Conclusão: f não é derivável em nenhum ponto — portanto não é holomorfa.
Passo 7
Apresentar a mesma conclusão por outro caminho (equações de Cauchy–Riemann), para reforçar o entendimento. Escreva z=x+iy. Então
\overline{z}=x-iy.
Separando parte real u(x,y) e imaginária v(x,y):
u(x,y)=x,\qquad v(x,y)=-y.
Calcule as derivadas parciais (são todas contínuas):
u_x=1,\quad u_y=0,\quad v_x=0,\quad v_y=-1.
As equações de Cauchy–Riemann (condição necessária para derivabilidade complexa quando as parciais são contínuas) exigem
u_x=v_y\qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
Aqui u_x=1 e v_y=-1, então u_x\neq v_y. Logo as equações de Cauchy–Riemann falham em todo ponto, o que implica que f não é complexamente derivável em nenhum ponto (as derivadas parciais são contínuas, portanto o teste é válido).
Passo 8
Recapitulando de modo amigável: com o teste do quociente vimos que aproximações por direções diferentes produzem limites diferentes (1 e -1), então o limite total não existe; com as equações de Cauchy–Riemann vimos diretamente que a condição necessária falha. Em qualquer uma das abordagens, a conclusão é a mesma: f(z)=\overline{z} não é derivável em nenhum ponto de \mathbb{C}, ou seja, não é holomorfa.
Resposta
A função f(z)=\overline{z} não é derivável em nenhum ponto de \mathbb{C}; portanto não é holomorfa.