Determine:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo divisor comum (mdc) dos dois inteiros dados. Informações fornecidas:
- Números:
e . - Pedido: calcular
.
Passo 2
O que é
e qual método vamos usar (explicação didática).
- Definição:
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . - Ferramenta prática: algoritmo de Euclides. Ele usa a divisão com resto sucessiva: para
existe um quociente e resto tais que
- Lema chave (por que o algoritmo funciona):
. Intuição rápida: qualquer divisor comum de e também divide ; e qualquer divisor comum de e divide . Assim os conjuntos de divisores comuns são os mesmos, logo o maior deles também é o mesmo. - Procedimento: repetimos as divisões substituindo
por até obter resto zero. O último resto não nulo é o .
Passo 3
Aplicando a divisão com resto à primeira etapa: dividir
por
.
Calcular o quociente inteiro e o resto:
Calcular o quociente inteiro e o resto:
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos o mesmo processo a
: dividir
por
.
Calcular:
Calcular:
Assim
Passo 5
Próxima divisão: dividir
por
.
Logo
Passo 6
Continuar: dividir
por
.
Portanto
Passo 7
Conclusão do algoritmo de Euclides: quando o resto chega a zero, o último resto não nulo é o
. Aqui o último resto não nulo é
. Logo
Passo 8
Verificação direta (para ficar tranquilo): multiplicações que confirmam que
divide ambos os números:
Assim
é realmente divisor de ambos; como o algoritmo de Euclides garante que é o maior, está confirmado.
Passo 9
Um mini-exemplo extra (para fixar a ideia): calcule
rapidamente com o mesmo método:
logo
. Mesma lógica usada acima.