Determine:
m d c(7469,2387)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo divisor comum (mdc) dos dois inteiros dados. Informações fornecidas:
  • Números: \,7469 e \,2387.
  • Pedido: calcular \mathrm{mdc}(7469,2387).

Passo 2

O que é \mathrm{mdc} e qual método vamos usar (explicação didática).
  • Definição: \mathrm{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
  • Ferramenta prática: algoritmo de Euclides. Ele usa a divisão com resto sucessiva: para a\ge b>0 existe um quociente q e resto r tais que
a = bq + r,\qquad 0 \le r < b.
  • Lema chave (por que o algoritmo funciona): \mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(b,r). Intuição rápida: qualquer divisor comum de a e b também divide r=a-bq; e qualquer divisor comum de b e r divide a=bq+r. Assim os conjuntos de divisores comuns são os mesmos, logo o maior deles também é o mesmo.
  • Procedimento: repetimos as divisões substituindo (a,b) por (b,r) até obter resto zero. O último resto não nulo é o \mathrm{mdc}.

Passo 3

Aplicando a divisão com resto à primeira etapa: dividir \,7469 por \,2387.
Calcular o quociente inteiro e o resto:
2387\times3 = 7161,
7469 - 7161 = 308.
Portanto
7469 = 2387\cdot 3 + 308.

Passo 4

Agora aplicamos o mesmo processo a (2387,308): dividir \,2387 por \,308.
Calcular:
308\times7 = 2156,
2387 - 2156 = 231.
Assim
2387 = 308\cdot 7 + 231.

Passo 5

Próxima divisão: dividir \,308 por \,231.
231\times1 = 231,
308 - 231 = 77.
Logo
308 = 231\cdot 1 + 77.

Passo 6

Continuar: dividir \,231 por \,77.
77\times3 = 231,
231 - 231 = 0.
Portanto
231 = 77\cdot 3 + 0.

Passo 7

Conclusão do algoritmo de Euclides: quando o resto chega a zero, o último resto não nulo é o \mathrm{mdc}. Aqui o último resto não nulo é \,77. Logo
\mathrm{mdc}(7469,2387)=77.

Passo 8

Verificação direta (para ficar tranquilo): multiplicações que confirmam que \,77 divide ambos os números:
77\times97 = 7700 - 231 = 7469,
77\times31 = 2310 + 77 = 2387.
Assim \,77 é realmente divisor de ambos; como o algoritmo de Euclides garante que é o maior, está confirmado.

Passo 9

Um mini-exemplo extra (para fixar a ideia): calcule \mathrm{mdc}(30,18) rapidamente com o mesmo método:
30 = 18\cdot1 + 12,
18 = 12\cdot1 + 6,
12 = 6\cdot2 + 0,
logo \mathrm{mdc}(30,18)=6. Mesma lógica usada acima.

Resposta

\mathrm{mdc}(7469,2387)=77

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