Mostre que o \operatorname{mdc}(5 n+6,5 n+8)=1, onde n é um inteiro ímpar.

Passo 1

O enunciado dá que n é um inteiro ímpar e pede para provar que
\operatorname{mdc}(5n+6,\,5n+8)=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • n é inteiro e ímpar (ou seja, pode ser escrito como n=2k+1 para algum inteiro k).
  • Os dois números cujo máximo divisor comum queremos são 5n+6 e 5n+8.
    A tarefa é mostrar que o único divisor comum positivo desses dois números é 1.

Passo 2

Lembrete útil (propriedade do máximo divisor comum e algoritmo de Euclides): para quaisquer inteiros a e b,
\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(a,b-a).
Explicação didática dessa propriedade: se d divide a e b, então divide também b-a. Reciprocamente, se d divide a e b-a, então divide b=(b-a)+a. Portanto o conjunto de divisores comuns de (a,b) é o mesmo que o de (a,b-a), logo os máximos divisores comuns são iguais. Essa é a ideia básica do algoritmo de Euclides, que reduz o par (a,b) substituindo um número pela diferença entre eles.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso, calcule a diferença entre os dois números:
(5n+8)-(5n+6)=2.
Pelo passo anterior temos
\operatorname{mdc}(5n+6,\,5n+8)=\operatorname{mdc}(5n+6,\,2).
Ou seja, o máximo divisor comum dos dois números divide 2; portanto só pode ser 1 ou 2.

Passo 4

Agora usamos que n é ímpar para decidir entre 1 e 2. Escrevendo n=2k+1 com k\in\mathbb{Z},
5n+6=5(2k+1)+6=10k+5+6=10k+11.
Como 10k é par e 11 é ímpar, a soma 10k+11 é ímpar. Logo 5n+6 é um número ímpar. Consequentemente 5n+6 não é divisível por 2.

Passo 5

Como \operatorname{mdc}(5n+6,\,5n+8)=\operatorname{mdc}(5n+6,\,2) e 5n+6 é ímpar, o único divisor comum possível é 1. Portanto
\operatorname{mdc}(5n+6,\,5n+8)=1.

Resposta

1

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