Mostre que o
, onde
é um inteiro ímpar.
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro ímpar e pede para provar que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é inteiro e ímpar (ou seja, pode ser escrito como para algum inteiro ). - Os dois números cujo máximo divisor comum queremos são
e .
A tarefa é mostrar que o único divisor comum positivo desses dois números é.
Passo 2
Lembrete útil (propriedade do máximo divisor comum e algoritmo de Euclides): para quaisquer inteiros
e
,
Explicação didática dessa propriedade: se
divide
e
, então divide também
. Reciprocamente, se
divide
e
, então divide
. Portanto o conjunto de divisores comuns de
é o mesmo que o de
, logo os máximos divisores comuns são iguais. Essa é a ideia básica do algoritmo de Euclides, que reduz o par
substituindo um número pela diferença entre eles.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso, calcule a diferença entre os dois números:
Pelo passo anterior temos
Ou seja, o máximo divisor comum dos dois números divide
; portanto só pode ser
ou
.
Passo 4
Agora usamos que
é ímpar para decidir entre
e
. Escrevendo
com
,
Como
é par e
é ímpar, a soma
é ímpar. Logo
é um número ímpar. Consequentemente
não é divisível por
.
Passo 5
Como
e
é ímpar, o único divisor comum possível é
. Portanto
Resposta
1