Sejam a, b, c, d(b \neq d) inteiros tais que o m d c(a, b)=m d c(c, d)=1. Mostrar que a soma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} nāo é um inteiro.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • a,b,c,d são inteiros.
  • b\neq d.
  • \gcd(a,b)=1 e \gcd(c,d)=1.
  • Implicitamente estamos lidando com frações, logo devemos ter b\neq0 e d\neq0. Para a forma usual do argumento é natural assumir b>0 e d>0 (denominadores positivos); farei essa suposição explícita para evitar ambiguidade de sinal.
    O que o enunciado pede: provar que a soma \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} não é um inteiro.

Passo 2

Vamos partir por contradição. Suponha que a soma seja um inteiro; chame esse inteiro de n. Escrevemos então a hipótese
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=n,
onde n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Multiplicando a igualdade por bd (lembre que b e d são não nulos), obtemos uma igualdade entre inteiros:
ad+bc = n\,bd.
Reescrevendo isolando termos, temos duas formas úteis:
ad = b\bigl(n d - c\bigr) \qquad\text{e}\qquad bc = d\bigl(n b - a\bigr).
As duas expressões mostram que b\mid ad e d\mid bc.

Passo 4

Apresento um lema de teoria dos números que usarei várias vezes (e já é bem conhecido, mas explico o porquê):
Lema. Se \gcd(x,y)=1 e x\mid(yz), então x\mid z.
Prova do lema (breve e direta). Como \gcd(x,y)=1, existem inteiros u,v tais que
u x + v y = 1
(pelo teorema de Bézout). Multiplicando por z obtemos
u x z + v y z = z.
Pela hipótese x\mid(yz) temos que x divide v y z; claramente x divide u x z. Então x divide a soma u x z + v y z, que é igual a z. Logo x\mid z. Isso demonstra o lema.

Passo 5

Aplicando o lema às divisibilidades que obtivemos:
  • Como b\mid ad e \gcd(a,b)=1, pelo lema segue b\mid d.
  • Como d\mid bc e \gcd(c,d)=1, pelo lema segue d\mid b.

Passo 6

Se b\mid d e d\mid b então |b|=|d|. Com a suposição natural b>0 e d>0 isso dá b=d. Mas isso contradiz a hipótese do enunciado de que b\neq d. Portanto a hipótese inicial (de que a soma era um inteiro) é falsa.

Passo 7

Concluímos, por contradição, que a soma \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} não pode ser um inteiro.

Resposta

A soma \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} não é um inteiro.

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