Sejam
inteiros tais que o
. Mostrar que a soma
nāo é um inteiro.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
-
são inteiros. -
. -
e . - Implicitamente estamos lidando com frações, logo devemos ter
e . Para a forma usual do argumento é natural assumir e (denominadores positivos); farei essa suposição explícita para evitar ambiguidade de sinal.
O que o enunciado pede: provar que a somanão é um inteiro.
Passo 2
Vamos partir por contradição. Suponha que a soma seja um inteiro; chame esse inteiro de
. Escrevemos então a hipótese
onde
.
Passo 3
Multiplicando a igualdade por
(lembre que
e
são não nulos), obtemos uma igualdade entre inteiros:
Reescrevendo isolando termos, temos duas formas úteis:
As duas expressões mostram que
e
.
Passo 4
Apresento um lema de teoria dos números que usarei várias vezes (e já é bem conhecido, mas explico o porquê):
Lema. Se e
, então
.
Lema. Se
Prova do lema (breve e direta). Como
, existem inteiros
tais que
(pelo teorema de Bézout). Multiplicando por
obtemos
Pela hipótese
temos que
divide
; claramente
divide
. Então
divide a soma
, que é igual a
. Logo
. Isso demonstra o lema.
Passo 5
Aplicando o lema às divisibilidades que obtivemos:
- Como
e , pelo lema segue . - Como
e , pelo lema segue .
Passo 6
Se
e
então
. Com a suposição natural
e
isso dá
. Mas isso contradiz a hipótese do enunciado de que
. Portanto a hipótese inicial (de que a soma era um inteiro) é falsa.
Passo 7
Concluímos, por contradição, que a soma
não pode ser um inteiro.
Resposta
A soma
não é um inteiro.