Determine m de modo que u, ve w, sejam linearmente independentes, onde
\mathbf{v}=(1, m+1, m+2) \quad \mathbf{w}=(1,0, m) \quad \mathbf{k}=(0,2,3)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \mathbf{v}=(1,\,m+1,\,m+2), \mathbf{w}=(1,\,0,\,m) e \mathbf{k}=(0,\,2,\,3),
e pede o(s) valor(es) de m para que eles sejam linearmente independentes.
O critério que vamos usar é: três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas linhas (ou colunas) são esses vetores. Aqui escolhemos usá-los como linhas:
M = \begin{pmatrix} 1 & m+1 & m+2\\\\ 1 & 0 & m \\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Por desenvolvimento na primeira linha:
\det(M) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & m\\\ 2 & 3\end{pmatrix} -(m+1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & m\\\ 0 & 3\end{pmatrix} +(m+2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Agora cada cofator:
\det\begin{pmatrix}0 & m\\\ 2 & 3\end{pmatrix} =0\cdot3 - m\cdot2 = -2m,
\det\begin{pmatrix}1 & m\\\ 0 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3 - m\cdot0 = 3,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - 0\cdot0 = 2.
Substituindo:
\det(M) =1\cdot(-2m) - (m+1)\cdot3 + (m+2)\cdot2 =-2m -3(m+1) +2(m+2).
Simplificando:
\det(M) = -2m -3m -3 +2m +4 = -3m +1.

Passo 4

Para que \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{k} sejam linearmente independentes, precisamos de
\det(M)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad -3m + 1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad m \neq \tfrac{1}{3}.

Resposta

m\neq \tfrac{1}{3}.

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