Dados A:(-3,2), B:(3,5) e C:(0,3) desenhe o triângulo A B C e ache:
a) A distância entre os pontos A e B;
b) A distância entre os pontos B e C;
c) O vetor \overrightarrow{B A} e o vetor \overrightarrow{A C};
d) O vetor \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}
e) O ponto médio do segmento \overline{A C}
f) O ponto na reta \overleftrightarrow{A B} que dista três vezes mais de A do que de B. (Duas respostas)

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-3,2), B=(3,5) e C=(0,3). Vamos usar:
– A fórmula da distância entre dois pontos no plano;
– A definição de vetor como diferença de coordenadas;
– A fórmula do ponto médio;
– A fórmula da divisão de um segmento em dada razão (interna e externa).

Passo 2

Para a distância AB aplicamos
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3-(-3))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}.

Passo 3

Para a distância BC temos
BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(0-3)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.

Passo 4

O vetor \overrightarrow{BA} é dado por \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} e o vetor \overrightarrow{AC} por \overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}. Logo,
\overrightarrow{BA} = (-3-3,\;2-5) = (-6,-3), \quad \overrightarrow{AC} = (0-(-3),\;3-2) = (3,1).

Passo 5

Somamos os vetores do passo anterior:
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = (-6,-3) + (3,1) = (-3,-2).

Passo 6

O ponto médio de AC tem coordenadas
\Bigl(\frac{x_A + x_C}{2},\,\frac{y_A + y_C}{2}\Bigr) = \Bigl(\frac{-3+0}{2},\,\frac{2+3}{2}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 7

Buscamos o ponto P na reta AB tal que PA = 3\,PB.
  1. Divisão interna em razão 3:1 (ponto entre A e B):
P_{\rm int} = A + \frac{3}{3+1}(B - A) = (-3,2) + \tfrac{3}{4}(6,3) = \Bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{17}{4}\Bigr).
  1. Divisão externa em razão 3:1 (ponto fora do segmento):
P_{\rm ext} = \frac{3\,B - 1\,A}{3 - 1} = \frac{3(3,5) -(-3,2)}{2} = \frac{(9,15)+(3,-2)}{2} = \Bigl(6,\;\tfrac{13}{2}\Bigr).

Resposta

(a) 3\sqrt{5}
(b) \sqrt{13}
(c) \overrightarrow{BA}=(-6,-3) e \overrightarrow{AC}=(3,1)
(d) \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=(-3,-2)
(e) \bigl(-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{5}{2}\bigr)
(f) \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{17}{4}\bigr) e \bigl(6,\,\tfrac{13}{2}\bigr)

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