Classifique os sistemas abaixo em compatível determinado, compatível indeterminado e incompatível e resolva-os usando as matrizes ampliadas
\left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+y+3 z & =0 \\\\ 3 x+2 y+z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0,\\\\ 3x + 2y + z = 0, \end{cases}
e pede para classificá-lo (compatível determinado, indeterminado ou incompatível) e resolver via matriz ampliada. O conteúdo aqui é eliminação de Gauss: montamos a matriz ampliada, aplicamos operações elementares para triangularizar e, a partir daí, determinamos posto e solução.

Passo 2

Vamos escrever a matriz ampliada correspondente ao sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna, usando \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\,\text{R}_1.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Agora pivotamos na segunda linha para zerar o elemento abaixo na coluna 2. Como o novo \,a_{32}=-4 e o pivô é -3, fazemos \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac{4}{3}\,\text{R}_2.
A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Na terceira linha o pivô é -4\neq0. Assim o posto da matriz de coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas. Logo o sistema é compatível determinado. Para achar a solução, fazemos substituição regressiva.

Passo 6

Da terceira equação obtemos
-4z = 0\quad\Longrightarrow\quad z = 0.
Substituindo na segunda:
-3y - 3\cdot 0 = 0\quad\Longrightarrow\quad y = 0,
e na primeira:
x + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0\quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Resposta

O sistema é compatível determinado e a única solução é (x,y,z) = (0,0,0).

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