Determine m para que x^{4}+m a^{2} x^{2}-5 a x^{2}+a^{4} seja divisível por x-a, a \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de m de modo que o polinômio
P(x)=x^{4}+m a^{2}x^{2}-5a x^{2}+a^{4}
seja divisível por x-a, sabendo que a\neq0. O conteúdo principal é o Teorema do Resto para polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, um polinômio P(x) é divisível por x-a se, e somente se,
P(a)=0.

Passo 3

Calculamos
P(a)=a^{4}+m a^{2}\cdot a^{2}-5a\cdot a^{2}+a^{4} =a^{4}+m a^{4}-5a^{3}+a^{4} =(2+m)a^{4}-5a^{3}.

Passo 4

Impondo P(a)=0 temos
(2+m)a^{4}-5a^{3}=0.
Como a\neq0, podemos dividir por a^{3} e obter
(2+m)a-5=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{5}{a}-2.

Resposta

\displaystyle m=\frac{5}{a}-2.

Exercícios relacionados