Diga quais das afirmações são falsas ou verdadeiras, justificando a sua resposta:
As raízes reais de f(x)=x^{4}-4 são simples.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a simplicidade das raízes reais de f(x)=x^{4}-4. Aqui o conteúdo é fatoração de polinômio e multiplicidade de raízes. Vamos encontrar as raízes reais e verificar se cada uma delas tem multiplicidade igual a 1.

Passo 2

Para achar as raízes de f(x)=x^{4}-4, resolvemos
x^{4}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 4^{1/4}=\pm\sqrt{2}
As demais raízes \pm i\sqrt{2} são complexas, portanto as reais são x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}.

Passo 3

Uma raiz r de um polinômio é simples se e somente se f'(r)\neq0. Calculamos
f'(x)=4x^{3}.
Em x=\sqrt{2} temos
f'(\sqrt{2})=4(\sqrt{2})^{3}=4\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{2}\neq0,
e em x=-\sqrt{2} temos
f'(-\sqrt{2})=4(-\sqrt{2})^{3}=-8\sqrt{2}\neq0.
Como f' não zera em nenhuma dessas raízes, elas são todas de multiplicidade 1.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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