Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior conjunto onde a função
é contínua. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
- A função tem uma raiz quadrada
, logo é preciso ter definido (e real) para os pontos do domínio. - O denominador é
, que não pode ser zero (pois divisão por zero não é permitida).
Não há outras informações externas ao enunciado.
Passo 2
Analisar a condição imposta pela raiz quadrada. A função
está definida em todos os
com
. Portanto exigimos
ou seja o conjunto
Esse é o primeiro requisito: todos os pontos do domínio têm que satisfazer
.
Passo 3
Analisar a condição imposta pelo denominador. Precisamos que
Como a exponencial satisfaz
se, e só se,
, a condição acima equivale a
Definimos então
Passo 4
O domínio natural (onde a função está definida como número real) é a interseção das duas condições:
Agora vamos ver a continuidade: funções elementares são contínuas onde estão definidas. Mais precisamente:
- A função
é contínua; - A função
é contínua em ; - A função
é contínua em ; - A soma/subtração e o produto/composição de funções contínuas são contínuas;
- A razão
de duas funções contínuas é contínua em pontos onde não é zero.
Aplicando isso: sobre o conjuntoa função numerador é contínua (porque ali) e o denominador é contínuo e não se anula (porque exigimos ). Logo a razão é contínua em cada ponto de .
Passo 5
Verificar pontos limítrofes que poderiam causar sutilezas. Há dois tipos de fronteira de
:
- Pontos com
: estão no interior de . Se, além disso, , eles pertencem a e a continuidade já foi assegurada pelo passo anterior. - Pontos com
: nesses pontos a raiz vale . Se além de tivermos , então o numerador vale e o denominador vale , portanto nesse ponto e, por ser quociente de funções contínuas com denominador não nulo, é contínua ali também. Assim os pontos da reta com pertencem ao maior conjunto de continuidade. - Restam os pontos em que
. Esses pontos fazem o denominador ser zero e, portanto, a função não está definida aí. Em particular, os pontos e satisfazem e simultaneamente: nesses pontos temos forma indeterminada . É preciso verificar se algum desses pontos poderia ser incluído por extensão contínua; mostramos que não.
Passo 6
Mostrar que pontos com
não podem ser incluídos porque a função não admite extensão contínua ali (exemplo em
). Considere caminhos no domínio que tendem a
:
- Caminho 1: para
pequeno, tome e . Então e , logo o ponto está no domínio. Calcula-se
e para
tem-se
, logo
- Caminho 2: para
pequeno, tome e . Então e . Calcula-se
e
, então
Como os limites ao longo de dois caminhos diferentes são distintos (um tende a
, outro diverge), não existe limite de
quando
dentro do domínio; portanto não é possível estender
continuamente em
. O mesmo tipo de problema ocorre em
. Assim os pontos com
não pertencem ao maior conjunto de continuidade.
Passo 7
Conclusão e descrição final do maior conjunto onde
é contínua: é exatamente o conjunto de todos os pontos onde a raiz está definida e o denominador é não nulo, ou seja a interseção
do Passo 4.