Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=\frac{\sqrt{1-x-y}}{e^{x y}-1}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior conjunto onde a função
f(x,y)=\frac{\sqrt{1-x-y}}{e^{x y}-1}
é contínua. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • A função tem uma raiz quadrada \sqrt{1-x-y}, logo é preciso ter 1-x-y definido (e real) para os pontos do domínio.
  • O denominador é e^{x y}-1, que não pode ser zero (pois divisão por zero não é permitida).
    Não há outras informações externas ao enunciado.

Passo 2

Analisar a condição imposta pela raiz quadrada. A função \sqrt{t} está definida em todos os t com t\ge 0. Portanto exigimos
1-x-y \ge 0,
ou seja o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y \le 1\}.
Esse é o primeiro requisito: todos os pontos do domínio têm que satisfazer x+y\le 1.

Passo 3

Analisar a condição imposta pelo denominador. Precisamos que
e^{x y}-1 \ne 0.
Como a exponencial satisfaz e^{u}=1 se, e só se, u=0, a condição acima equivale a
x y \ne 0.
Definimos então
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \ne 0\}.

Passo 4

O domínio natural (onde a função está definida como número real) é a interseção das duas condições:
D = A\cap B = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y \le 1,\; x y \ne 0\}.
Agora vamos ver a continuidade: funções elementares são contínuas onde estão definidas. Mais precisamente:
  • A função (x,y)\mapsto 1-x-y é contínua;
  • A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em [0,\infty);
  • A função (x,y)\mapsto e^{xy} é contínua em \mathbb{R}^2;
  • A soma/subtração e o produto/composição de funções contínuas são contínuas;
  • A razão g/h de duas funções contínuas é contínua em pontos onde h não é zero.
    Aplicando isso: sobre o conjunto D a função numerador (x,y)\mapsto\sqrt{1-x-y} é contínua (porque 1-x-y\ge0 ali) e o denominador (x,y)\mapsto e^{xy}-1 é contínuo e não se anula (porque exigimos xy\ne0). Logo a razão é contínua em cada ponto de D.

Passo 5

Verificar pontos limítrofes que poderiam causar sutilezas. Há dois tipos de fronteira de A:
  • Pontos com x+y<1: estão no interior de A. Se, além disso, xy\ne0, eles pertencem a D e a continuidade já foi assegurada pelo passo anterior.
  • Pontos com x+y=1: nesses pontos a raiz vale 0. Se além de x+y=1 tivermos xy\ne0, então o numerador vale 0 e o denominador vale e^{xy}-1\ne0, portanto f(x,y)=0 nesse ponto e, por ser quociente de funções contínuas com denominador não nulo, f é contínua ali também. Assim os pontos da reta x+y=1 com xy\ne0 pertencem ao maior conjunto de continuidade.
  • Restam os pontos em que x y=0. Esses pontos fazem o denominador ser zero e, portanto, a função não está definida aí. Em particular, os pontos (1,0) e (0,1) satisfazem x+y=1 e xy=0 simultaneamente: nesses pontos temos forma indeterminada 0/0. É preciso verificar se algum desses pontos poderia ser incluído por extensão contínua; mostramos que não.

Passo 6

Mostrar que pontos com xy=0 não podem ser incluídos porque a função não admite extensão contínua ali (exemplo em (0,1)). Considere caminhos no domínio que tendem a (0,1):
  • Caminho 1: para t>0 pequeno, tome x=t e y=1-t-t^2. Então x+y=1-t^2<1 e xy=t(1-t-t^2)\ne0, logo o ponto está no domínio. Calcula-se
\sqrt{1-x-y}=\sqrt{t^2}=t,
e para t\to0^+ tem-se e^{xy}-1\sim xy\sim t, logo
f(x,y)\approx\frac{t}{t}\to 1.
  • Caminho 2: para t>0 pequeno, tome x=t^2 e y=1-t-t^2. Então x+y=1-t<1 e xy=t^2(1-t-t^2)\ne0. Calcula-se
\sqrt{1-x-y}=\sqrt{t},
e xy\sim t^2, então
f(x,y)\approx\frac{\sqrt{t}}{t^2}=t^{-3/2}\to +\infty.
Como os limites ao longo de dois caminhos diferentes são distintos (um tende a 1, outro diverge), não existe limite de f quando (x,y)\to(0,1) dentro do domínio; portanto não é possível estender f continuamente em (0,1). O mesmo tipo de problema ocorre em (1,0). Assim os pontos com xy=0 não pertencem ao maior conjunto de continuidade.

Passo 7

Conclusão e descrição final do maior conjunto onde f é contínua: é exatamente o conjunto de todos os pontos onde a raiz está definida e o denominador é não nulo, ou seja a interseção A\cap B do Passo 4.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y\le 1,\; x y\ne 0\}

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