Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.” A função dada é
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Sabemos que o logaritmo natural
está definido somente para . - Portanto, a função só pode existir (e ser contínua) em pontos
onde .
Passo 2
Encontrar o conjunto de pontos que satisfazem
.
Vamos analisar
:
- Para qualquer
, . - Se
, então para todo , e não está definido. Logo, todos os pontos com estão fora do domínio. - Se
, então . Nesse caso o sinal de é o mesmo do sinal de . Portanto, para precisamos de para garantir .
Conclusão desta análise: o conjunto de definição (domínio) é
Passo 3
Explicar por que
é contínua em todo ponto de
.
Fatos usados (com explicação simples):
- A função
é uma combinação de operações polinomiais (elevar ao quadrado e multiplicar), e polinômios são contínuos em todo . Assim, é contínua em todo ponto de . - A função
é contínua em . - Teorema da composição: se
é contínua num ponto e é contínua em , então a composição é contínua em .
Aplicando ao nosso caso: para qualquer
temos
, logo
é contínua em
. Como
é contínua em
, a composição
é contínua em
. Como o ponto foi arbitrário em
,
é contínua em todo
.
Passo 4
Mostrar que esse conjunto
é o maior possível (ou seja, não dá para estender a continuidade para pontos fora de
).
Verificações dos tipos de pontos fora de
:
- Pontos com
: se e , então e não está definido; se então e não está definido. Portanto todos esses pontos estão fora do domínio e não podem ser incluídos. - Pontos com
: mesmo que , quando temos , logo não está definido. Além disso, ao aproximar um ponto com por pontos de (por exemplo com e fixo ), e . Isso prova que não existe extensão contínua finita de para pontos com . - Similarmente, ao aproximar qualquer ponto com
por pontos de (tomando ), , então não existe extensão contínua finita para pontos com .
Portanto não há como incluir nenhum ponto fora de
e manter a continuidade;
é o maior conjunto onde
é definida e contínua.
Passo 5
Observação adicional útil para a prova (resumo curto e prático que você pode usar na hora):
- Domínio:
. - Justificativa de continuidade: composição de funções contínuas (
contínua e contínua em ). - Máximo porque em pontos com
ou a função não é nem definida; ao aproximar esses pontos o valor tende a , impossibilitando extensão contínua.