Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=\ln \left(x^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.” A função dada é \displaystyle f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}y\bigr).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão dentro do logaritmo é \displaystyle x^{2}y.
  • Sabemos que o logaritmo natural \ln(t) está definido somente para \displaystyle t>0.
  • Portanto, a função só pode existir (e ser contínua) em pontos (x,y) onde \displaystyle x^{2}y>0.

Passo 2

Encontrar o conjunto de pontos que satisfazem \displaystyle x^{2}y>0.
Vamos analisar \displaystyle x^{2}y:
  • Para qualquer \displaystyle x\in\mathbb{R}, \displaystyle x^{2}\ge 0.
  • Se \displaystyle x=0, então \displaystyle x^{2}y=0 para todo \displaystyle y, e \ln(0) não está definido. Logo, todos os pontos com \displaystyle x=0 estão fora do domínio.
  • Se \displaystyle x\neq 0, então \displaystyle x^{2}>0. Nesse caso o sinal de \displaystyle x^{2}y é o mesmo do sinal de \displaystyle y. Portanto, para \displaystyle x\neq 0 precisamos de \displaystyle y>0 para garantir \displaystyle x^{2}y>0.
Conclusão desta análise: o conjunto de definição (domínio) é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0,\; y>0\}.

Passo 3

Explicar por que f é contínua em todo ponto de D.
Fatos usados (com explicação simples):
  • A função \displaystyle g(x,y)=x^{2}y é uma combinação de operações polinomiais (elevar ao quadrado e multiplicar), e polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}^{2}. Assim, \displaystyle g é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^{2}.
  • A função \displaystyle \ln é contínua em (0,\infty).
  • Teorema da composição: se g é contínua num ponto p e h é contínua em g(p), então a composição h\circ g é contínua em p.
Aplicando ao nosso caso: para qualquer (x_{0},y_{0})\in D temos \displaystyle g(x_{0},y_{0})=x_{0}^{2}y_{0}>0, logo \ln é contínua em g(x_{0},y_{0}). Como g é contínua em (x_{0},y_{0}), a composição f=\ln\circ g é contínua em (x_{0},y_{0}). Como o ponto foi arbitrário em D, f é contínua em todo D.

Passo 4

Mostrar que esse conjunto D é o maior possível (ou seja, não dá para estender a continuidade para pontos fora de D).
Verificações dos tipos de pontos fora de D:
  • Pontos com \displaystyle y\le 0: se \displaystyle y<0 e \displaystyle x\neq 0, então \displaystyle x^{2}y<0 e \ln não está definido; se \displaystyle y=0 então \displaystyle x^{2}y=0 e \ln(0) não está definido. Portanto todos esses pontos estão fora do domínio e não podem ser incluídos.
  • Pontos com \displaystyle x=0: mesmo que \displaystyle y>0, quando \displaystyle x=0 temos \displaystyle x^{2}y=0, logo \ln não está definido. Além disso, ao aproximar um ponto com x=0 por pontos de D (por exemplo com x\to 0 e y fixo >0), \displaystyle x^{2}y\to 0^{+} e \ln(x^{2}y)\to -\infty. Isso prova que não existe extensão contínua finita de f para pontos com x=0.
  • Similarmente, ao aproximar qualquer ponto com y=0 por pontos de D (tomando y\downarrow 0), \ln(x^{2}y)\to -\infty, então não existe extensão contínua finita para pontos com y=0.
Portanto não há como incluir nenhum ponto fora de D e manter a continuidade; D é o maior conjunto onde f é definida e contínua.

Passo 5

Observação adicional útil para a prova (resumo curto e prático que você pode usar na hora):
  • Domínio: \{(x,y):x\neq 0,\\ y>0\}.
  • Justificativa de continuidade: composição de funções contínuas ( x^{2}y contínua e \ln contínua em (0,\infty)).
  • Máximo porque em pontos com x=0 ou y\le 0 a função não é nem definida; ao aproximar esses pontos o valor tende a -\infty, impossibilitando extensão contínua.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0,\; y>0\}

Exercícios relacionados