Prove que para cada função f dada, o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe.
f(x, y)=\frac{x-2 y}{3 x+y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x-2y}{3x+y}
e pede para provar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Informações relevantes que temos:
  • A função está definida em pontos (x,y) tais que o denominador 3x+y é diferente de zero.
  • A reta y=-3x faz o denominador ficar nulo; nela f não está definida (essa reta passa pela origem).
  • O ponto de interesse para o limite é (0,0), que pertence à reta onde a função pode estar indefinida; porém o limite é sobre aproximações por pontos onde f esteja definida.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para que exista o limite de uma função de duas variáveis em um ponto, o valor de f(x,y) quando (x,y) se aproxima do ponto deve tender ao mesmo número independentemente da direção ou da curva pela qual nos aproximamos. Uma forma prática e comum de mostrar que um limite não existe é encontrar duas curvas (ou duas sequências de pontos) que se aproximam do mesmo ponto e ao longo das quais os valores da função tendem a limites diferentes. Se esses limites parciais forem distintos, o limite total não pode existir.

Passo 3

Escolhemos aproximações por retas do tipo y=kx (com k constante). Isso é conveniente porque, para x\neq0, podemos dividir numerador e denominador por x e obter uma expressão que depende só de k. Tome uma reta y=kx com k\neq-3 (evitamos k=-3 porque aí o denominador é zero identicamente).
Substituindo y=kx em f temos, para x\neq0,
f(x,kx)=\frac{x-2(kx)}{3x+(kx)}=\frac{1-2k}{3+k}.
Essa expressão é constante em x (desde que k\neq-3), portanto ao levar x\to0 ao longo da reta y=kx o valor de f(x,y) tende exatamente a
\frac{1-2k}{3+k}.
Essa fórmula mostra claramente que diferentes valores de k podem produzir diferentes limites.

Passo 4

Escolha da primeira reta: k=0, ou seja y=0. Pela fórmula acima (ou substituindo diretamente),
f(x,0)=\frac{x-0}{3x+0}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}\quad\text{para }x\neq0.
Portanto, aproximando (x,y) de (0,0) pela sequência \bigl(x_n,y_n\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{n},0\bigr) (que satisfaz 3x_n+y_n\neq0), obtemos
\lim_{n\to\infty} f\bigl(x_n,y_n\bigr)=\frac{1}{3}.
Logo, ao aproximar pela reta y=0 o valor tende a \frac{1}{3}.

Passo 5

Escolha da segunda reta: k=1, ou seja y=x. Pela fórmula,
f(x,x)=\frac{x-2x}{3x+x}=\frac{-x}{4x}=-\frac{1}{4}\quad\text{para }x\neq0.
Aproximando pela sequência \bigl(x_n,y_n\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\bigr), temos
\lim_{n\to\infty} f\bigl(x_n,y_n\bigr)=-\frac{1}{4}.
Portanto, ao aproximar pela reta y=x o valor tende a -\frac{1}{4}.

Passo 6

Comparando os dois limites parciais obtidos: pela reta y=0 o limite vale \frac{1}{3} e pela reta y=x o limite vale -\frac{1}{4}. Como esses dois números são diferentes, não existe um único número L tal que f(x,y)\to L para todas as formas de aproximação a (0,0). Assim, pelo critério de aproximações por caminhos distintos, concluímos que o limite de f em (0,0) não existe. Observação: evitamos a reta y=-3x porque ali f é indefinida; isso não impede usar outras retas próximas que mostram a discrepância dos limites.

Resposta

O limite não existe.

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