Prove que para cada função
dada, o
não existe.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para provar que
não existe. Informações relevantes que temos:
- A função está definida em pontos
tais que o denominador é diferente de zero. - A reta
faz o denominador ficar nulo; nela não está definida (essa reta passa pela origem). - O ponto de interesse para o limite é
, que pertence à reta onde a função pode estar indefinida; porém o limite é sobre aproximações por pontos onde esteja definida.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para que exista o limite de uma função de duas variáveis em um ponto, o valor de
quando
se aproxima do ponto deve tender ao mesmo número independentemente da direção ou da curva pela qual nos aproximamos. Uma forma prática e comum de mostrar que um limite não existe é encontrar duas curvas (ou duas sequências de pontos) que se aproximam do mesmo ponto e ao longo das quais os valores da função tendem a limites diferentes. Se esses limites parciais forem distintos, o limite total não pode existir.
Passo 3
Escolhemos aproximações por retas do tipo
(com
constante). Isso é conveniente porque, para
, podemos dividir numerador e denominador por
e obter uma expressão que depende só de
. Tome uma reta
com
(evitamos
porque aí o denominador é zero identicamente).
Substituindo em
temos, para
,
Substituindo
Essa expressão é constante em
(desde que
), portanto ao levar
ao longo da reta
o valor de
tende exatamente a
Essa fórmula mostra claramente que diferentes valores de
podem produzir diferentes limites.
Passo 4
Escolha da primeira reta:
, ou seja
. Pela fórmula acima (ou substituindo diretamente),
Portanto, aproximando
de
pela sequência
(que satisfaz
), obtemos
Logo, ao aproximar pela reta
o valor tende a
.
Passo 5
Escolha da segunda reta:
, ou seja
. Pela fórmula,
Aproximando pela sequência
, temos
Portanto, ao aproximar pela reta
o valor tende a
.
Passo 6
Comparando os dois limites parciais obtidos: pela reta
o limite vale
e pela reta
o limite vale
. Como esses dois números são diferentes, não existe um único número
tal que
para todas as formas de aproximação a
. Assim, pelo critério de aproximações por caminhos distintos, concluímos que o limite de
em
não existe. Observação: evitamos a reta
porque ali
é indefinida; isso não impede usar outras retas próximas que mostram a discrepância dos limites.
Resposta
O limite não existe.