Usando a definição de limite para funções com várias variáveis, calcule
.
Passo 1
Enunciado: calcular
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde o par
se aproxima é . - Precisamos usar a definição de limite para funções de várias variáveis (isto é, provar que existe
tal que para todo existe com a propriedade adequada).
Passo 2
Primeiro, vou lembrar a definição de limite para funções de duas variáveis de um jeito simples e prático.
Definição (intuitiva e formal): dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Explicando as peças:
-
é o “tamanho da tolerância” no eixo vertical (quão perto queremos que fique de ). -
é o “tamanho da tolerância” no plano (raio de uma bola ao redor de ). - A norma
é a distância euclidiana entre e .
A nossa tarefa é encontrare, para qualquer , dar um que satisfaça a definição.
Passo 3
Um passo natural é calcular o valor da função no ponto dado — esse será o candidato a limite.
Calculemos
:
Então o candidato é
. Agora precisamos demonstrar, usando a definição, que esse é realmente o limite.
Passo 4
Vamos estimar
em termos da distância
.
Começamos escrevendo a diferença:
Reescrevendo em termos de deslocamentos
e
:
Usamos a desigualdade triangular (ou seja,
) para separar os termos:
Agora relacionamos
e
com a distância euclidiana
. Observamos que
porque cada componente em valor absoluto é menor ou igual à norma do vetor formado pelas componentes. Substituindo,
Logo obtivemos a desigualdade crucial:
Passo 5
Agora aplicamos a definição com a desigualdade encontrada.
Se quisermos garantir
, basta garantir que
Isto é equivalente a
Portanto, para qualquer
podemos escolher
Com essa escolha temos: se
, então
Isso mostra exatamente a propriedade exigida pela definição de limite, logo