Usando a definição de limite para funções com várias variáveis, calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(-4,2)} 2 x+5 y.

Passo 1

Enunciado: calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-4,2)} 2x+5y.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=2x+5y.
  • O ponto onde o par (x,y) se aproxima é (-4,2).
  • Precisamos usar a definição de limite para funções de várias variáveis (isto é, provar que existe L tal que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 com a propriedade adequada).

Passo 2

Primeiro, vou lembrar a definição de limite para funções de duas variáveis de um jeito simples e prático.
Definição (intuitiva e formal): dizemos que
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, temos |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Explicando as peças:
  • \varepsilon>0 é o “tamanho da tolerância” no eixo vertical (quão perto queremos que f(x,y) fique de L).
  • \delta>0 é o “tamanho da tolerância” no plano (x,y) (raio de uma bola ao redor de (a,b)).
  • A norma \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} é a distância euclidiana entre (x,y) e (a,b).
    A nossa tarefa é encontrar L e, para qualquer \varepsilon>0, dar um \delta que satisfaça a definição.

Passo 3

Um passo natural é calcular o valor da função no ponto dado — esse será o candidato a limite.
Calculemos f(-4,2):
f(-4,2)=2\cdot(-4)+5\cdot 2 = -8+10=2.
Então o candidato é L=2. Agora precisamos demonstrar, usando a definição, que esse é realmente o limite.

Passo 4

Vamos estimar |f(x,y)-L| em termos da distância \sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2}.
Começamos escrevendo a diferença:
|f(x,y)-L| = |2x+5y-2|.
Reescrevendo em termos de deslocamentos x+4 e y-2:
|2x+5y-2| = |2(x+4)+5(y-2)|.
Usamos a desigualdade triangular (ou seja, |u+v|\le|u|+|v|) para separar os termos:
|2(x+4)+5(y-2)| \le 2|x+4| + 5|y-2|.
Agora relacionamos |x+4| e |y-2| com a distância euclidiana r=\sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2}. Observamos que
|x+4|\le r \quad\text{e}\quad |y-2|\le r,
porque cada componente em valor absoluto é menor ou igual à norma do vetor formado pelas componentes. Substituindo,
2|x+4| + 5|y-2| \le 2r + 5r = 7r.
Logo obtivemos a desigualdade crucial:
|f(x,y)-2| \le 7 \sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2}.

Passo 5

Agora aplicamos a definição com a desigualdade encontrada.
Se quisermos garantir |f(x,y)-2|<\varepsilon, basta garantir que
7 \sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2} < \varepsilon.
Isto é equivalente a
\sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2} < \frac{\varepsilon}{7}.
Portanto, para qualquer \varepsilon>0 podemos escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{7}.
Com essa escolha temos: se 0<\sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2}<\delta, então
|f(x,y)-2| \le 7\sqrt{(x+4)^2+(y-2)^2} < 7\delta = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a propriedade exigida pela definição de limite, logo
\lim_{(x,y)\to(-4,2)} 2x+5y = 2.

Resposta

2

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